相似度计算之马氏距离

马氏距离（Mahalanobis Distance）是由印度统计学家马哈拉诺比斯（P. C. Mahalanobis）提出的，表示数据的协方差距离。有时也被称为马哈拉诺比斯距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的（scale-invariant），即独立于测量尺度。

一些基本概念：
（1）方差：方差是标准差的平方，而标准差的意义是数据集中各个点到均值点距离的平均值。反应的是数据的离散程度。
（2）协方差：标准差与方差是描述一维数据，当存在多维数据时，我们通常需要知道每个维数的变量中间是否存在关联。协方差就是衡量多维数据集中，变量之间相关性的统计量。如果两个变量之间的协方差为正值，则这两个变量之间存在正相关，若为负值，则为负相关。

对于一个均值μ=(μ1,μ2,μ3…,μp)T,协方差矩阵为∑的∑的多变量向量X=(X1,X2,X3,…Xp)T,其马氏距离为:
DM(x)=√((x-μ)T∑^(-1)▒〖(x-μ)〗)
马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且协方差矩阵为的随机变量X与y的差异程度:
d(x ⃗,y ⃗)= √((x ⃗-y ⃗ )T∑^(-1)▒〖(x ⃗-y ⃗)〗)
如果协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧氏距离；如果协方差矩阵为对角阵，其也可称为正规化的欧氏距离。
d(x ⃗,y ⃗)=√(∑_(i=1)^{p▒〖(xi-yi)〗}2/〖ói〗^2 )

根据马氏距离的定义，可以得到它的几个特点如下：

两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关（不受量纲的影响）
标准化数据和中心化数据（即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同
可以排除变量之间的相关性的干扰
满足距离的四个基本公理：非负性、自反性、对称性和三角不等式
缺点是夸大了变化微小的变量的作用
考虑下面这张图，椭圆表示等高线，从欧几里得的距离来算，绿黑距离大于红黑距离，但是从马氏距离，结果恰好相反：

马氏距离实际上是利用 Cholesky transformation 来消除不同维度之间的相关性和尺度不同的性质。

下图是一个二元变量数据的散点图：

当我们将坐标轴拿掉，如下图：

根据数据本身的提示信息来引入新的坐标轴：坐标的原点在这些点的中央（根据点的平均值算得）。第一个坐标轴（下图中蓝色的线）沿着数据点的“脊椎”，并向两端延伸，定义为使得数据方差最大的方向。第二个坐标轴（下图红色的线）会与第一个坐标轴垂直并向两端延伸。如果数据的维度超过了两维，那就选择使得数据方差是第二个最大的方向，以此类推。

我们需要一个比例尺度。沿着每一个坐标轴的标准差来定义一个单位长度。使用“68-95-99.7法则”更容易找到合理的单位。（大约68%的点需要在离原点一个单位长度的范围内；大约95%的点需要在离原点两个单位的长度范围内；99.7的点需要在3个单位程度范围内。）为了以示参考，如下图：

在这里插入图片描述

由于每个轴上的单位长度不相等，所以上图中距离原点一个单位的形成的轨迹并不是一个圆形。为了更好的呈现图表，我们将图片进行旋转。同时，并让每个轴方向上的单位长度相同：

上面就是从散点图中构建坐标系统的过程，为的是方便进行测量。

说明：
沿着新坐标轴的单位向量是协方差矩阵的特征向量。注意到没有变形的椭圆，变成圆形后沿着特征向量用标准差（协方差的平方根）将距离长度分割。 坐标轴扩展的量是协方差矩阵的逆的特征值（平方根），同理的，坐标轴缩小的量是协方差矩阵的特征值。所以，点越分散，需要的将椭圆转成圆的缩小量就越多。 尽管上述的操作可以用到任何数据上，但是对于多元正态分布的数据表现更好。在其他情况下，点的平均值或许不能很好的表示数据的中心，或者数据的“脊椎”（数据的大致趋势方向）不能用变量作为概率分布测度来准确的确定。 原始坐标系的平移、旋转，以及坐标轴的伸缩一起形成了仿射变换（affine transformation）。除了最开始的平移之外，其余的变换都是基底变换，从原始的一个变为新的一个。 在新的坐标系中，多元正态分布像是标准正太分布，当将变量投影到任何一条穿过原点的坐标轴上。特别是，在每一个新的坐标轴上，它就是标准正态分布。从这点出发来看，多元正态分布彼此之实质性的差异就在于它们的维度。