在集成学习之Adaboost算法原理小结中，咱们对Boosting家族的Adaboost算法作了总结，本文就对Boosting家族中另外一个重要的算法梯度提高树(Gradient Boosting Decison Tree, 如下简称GBDT)作一个总结。GBDT有不少简称，有GBT（Gradient Boosting Tree）, GTB（Gradient Tree Boosting ）， GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)，其实都是指的同一种算法，本文统一简称GBDT。GBDT在BAT大厂中也有普遍的应用，假如要选择3个最重要的机器学习算法的话，我的认为GBDT应该占一席之地。html
GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，可是却和传统的Adaboost有很大的不一样。回顾下Adaboost，咱们是利用前一轮迭代弱学习器的偏差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，可是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不一样。算法
在GBDT的迭代中，假设咱们前一轮迭代获得的强学习器是$f_{t-1}(x)$, 损失函数是$L(y, f_{t-1}(x))$, 咱们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器$h_t(x)$，让本轮的损失函数$L(y, f_{t}(x) =L(y, f_{t-1}(x)+ h_t(x))$最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽可能变得更小。机器学习
GBDT的思想能够用一个通俗的例子解释，假若有我的30岁，咱们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时咱们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮咱们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。若是咱们的迭代轮数尚未完，能够继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数偏差都会减少。函数
从上面的例子看这个思想仍是蛮简单的，可是有个问题是这个损失的拟合很差度量，损失函数各类各样，怎么找到一种通用的拟合方法呢？post
在上一节中，咱们介绍了GBDT的基本思路，可是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为$$r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}$$性能
利用$(x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)$,咱们能够拟合一颗CART回归树，获得了第t颗回归树，其对应的叶节点区域$R_{tj}, j =1,2,..., J$。其中J为叶子节点的个数。学习
针对每个叶子节点里的样本，咱们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值$c_{tj}$以下：$$c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)$$优化
这样咱们就获得了本轮的决策树拟合函数以下：$$h_t(x) = \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})$$htm
从而本轮最终获得的强学习器的表达式以下：$$f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj}) $$blog
经过损失函数的负梯度来拟合，咱们找到了一种通用的拟合损失偏差的办法，这样无轮是分类问题仍是回归问题，咱们经过其损失函数的负梯度的拟合，就能够用GBDT来解决咱们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不一样致使的负梯度不一样而已。
好了，有了上面的思路，下面咱们总结下GBDT的回归算法。为何没有加上分类算法一块儿？那是由于分类算法的输出是不连续的类别值，须要一些处理才能使用负梯度，咱们在下一节讲。
输入是训练集样本$T=\{(x_,y_1),(x_2,y_2), ...(x_m,y_m)\}$， 最大迭代次数T, 损失函数L。
输出是强学习器f(x)
1) 初始化弱学习器$$f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c)$$
2) 对迭代轮数t=1,2,...T有：
a)对样本i=1,2，...m，计算负梯度$$r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}$$
b)利用$(x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)$, 拟合一颗CART回归树,获得第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为$R_{tj}, j =1,2,..., J$。其中J为回归树t的叶子节点的个数。
c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值$$c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)$$
d) 更新强学习器$$f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj}) $$
3) 获得强学习器f(x)的表达式$$f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})$$
这里咱们再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，可是因为样本输出不是连续的值，而是离散的类别，致使咱们没法直接从输出类别去拟合类别输出的偏差。
为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另外一种方法是用相似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说，咱们用的是类别的预测几率值和真实几率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，咱们又有二元分类和多元分类的区别。
对于二元GBDT，若是用相似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：$$L(y, f(x)) = log(1+ exp(-yf(x)))$$
其中$y \in\{-1, +1\}$。则此时的负梯度偏差为$$r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i)))$$
对于生成的决策树，咱们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为$$c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c)))$$
因为上式比较难优化，咱们通常使用近似值代替$$c_{tj} = \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg / \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|)$$
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。
多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差异。假设类别数为K，则此时咱们的对数似然损失函数为：$$L(y, f(x)) = - \sum\limits_{k=1}^{K}y_klog\;p_k(x) $$
其中若是样本输出类别为k，则$y_k=1$。第k类的几率$p_k(x) $的表达式为：$$p_k(x) = exp(f_k(x)) \bigg / \sum\limits_{l=1}^{K} exp(f_l(x)) $$
集合上两式，咱们能够计算出第$t$轮的第$i$个样本对应类别$l$的负梯度偏差为$$r_{til} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f_k(x) = f_{l, t-1}\;\; (x)} = y_{il} - p_{l, t-1}(x_i)$$
观察上式能够看出，其实这里的偏差就是样本$i$对应类别$l$的真实几率和$t-1$轮预测几率的差值。
对于生成的决策树，咱们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为$$c_{tjl} = \underbrace{arg\; min}_{c_{jl}}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K} L(y_k, f_{t-1, l}(x) + \sum\limits_{j=0}^{J}c_{jl} I(x_i \in R_{tjl}))$$
因为上式比较难优化，咱们通常使用近似值代替$$c_{tjl} = \frac{K-1}{K} \; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}$$
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。
这里咱们再对经常使用的GBDT损失函数作一个总结。
对于分类算法，其损失函数通常有对数损失函数和指数损失函数两种:
a) 若是是指数损失函数，则损失函数表达式为$$L(y, f(x)) = exp(-yf(x))$$
其负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合参见Adaboost原理篇。
b) 若是是对数损失函数，分为二元分类和多元分类两种，参见4.1节和4.2节。
对于回归算法，经常使用损失函数有以下4种:
a)均方差，这个是最多见的回归损失函数了$$L(y, f(x)) =(y-f(x))^2$$
b)绝对损失，这个损失函数也很常见$$L(y, f(x)) =|y-f(x)|$$
对应负梯度偏差为：$$sign(y_i-f(x_i))$$
c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限通常用分位数点度量。损失函数以下：
$$L(y, f(x))=
\begin{cases}
\frac{1}{2}(y-f(x))^2& {|y-f(x)| \leq \delta}\\
\delta(|y-f(x)| - \frac{\delta}{2})& {|y-f(x)| > \delta}
\end{cases}$$
对应的负梯度偏差为：
$$r(y_i, f(x_i))=
\begin{cases}
y_i-f(x_i)& {|y_i-f(x_i)| \leq \delta}\\
\delta sign(y_i-f(x_i))& {|y_i-f(x_i)| > \delta}
\end{cases}$$
d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为$$L(y, f(x)) =\sum\limits_{y \geq f(x)}\theta|y - f(x)| + \sum\limits_{y < f(x)}(1-\theta)|y - f(x)| $$
其中$\theta$为分位数，须要咱们在回归前指定。对应的负梯度偏差为：
$$r(y_i, f(x_i))=
\begin{cases}
\theta& { y_i \geq f(x_i)}\\
\theta - 1 & {y_i < f(x_i) }
\end{cases}$$
对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减小异常点对损失函数的影响。
和Adaboost同样，咱们也须要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。
第一种是和Adaboost相似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为$\nu$,对于前面的弱学习器的迭代$$f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + h_k(x) $$
若是咱们加上了正则化项，则有$$f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + \nu h_k(x) $$
$\nu$的取值范围为$0 < \nu \leq 1 $。对于一样的训练集学习效果，较小的$\nu$意味着咱们须要更多的弱学习器的迭代次数。一般咱们用步长和迭代最大次数一块儿来决定算法的拟合效果。
第二种正则化的方式是经过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不同，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。若是取值为1，则所有样本都使用，等于没有使用子采样。若是取值小于1，则只有一部分样本会去作GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例能够减小方差，即防止过拟合，可是会增长样本拟合的误差，所以取值不能过低。推荐在[0.5, 0.8]之间。
使用了子采样的GBDT有时也称做随机梯度提高树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。因为使用了子采样，程序能够经过采样分发到不一样的任务去作boosting的迭代过程，最后造成新树，从而减小弱学习器难以并行学习的弱点。
第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里咱们已经讲过，这里就不重复了。
GBDT终于讲完了，GDBT自己并不复杂，不过要吃透的话须要对集成学习的原理，决策树原理和各类损失函树有必定的了解。因为GBDT的卓越性能，只要是研究机器学习都应该掌握这个算法，包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。固然scikit-learn也能够。
最后总结下GBDT的优缺点。
GBDT主要的优势有：
1) 能够灵活处理各类类型的数据，包括连续值和离散值。
2) 在相对少的调参时间状况下，预测的准确率也能够比较高。这个是相对SVM来讲的。
3）使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性很是强。好比 Huber损失函数和Quantile损失函数。
GBDT的主要缺点有：
1)因为弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过能够经过自采样的SGBT来达到部分并行。
以上就是GBDT的原理总结，后面会讲GBDT的scikit-learn调参，敬请期待。
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