浅谈线段树
数据结构——线段树html
O、引例node
A.给出n个数，n<=100，和m个询问，每次询问区间[l，r]的和，并输出。数据结构
一种回答：这也太简单了，O（n）枚举搜索就好了。ide
另外一种回答：还用得着o(n）枚举，前缀和o(1)就搞定。优化
那好，我再修改一下题目。ui
B.给出n个数，n<=100，和m个操做，每一个操做可能有两种：一、在某个位置加上一个数；二、询问区间[l，r]的和，并输出。spa
回答：o（n）枚举。code
动态修改最起码不能用静态的前缀和作了。htm
好，我再修改题目：blog
C.给出n个数，n<=1000000，和m个操做，每一个操做可能有两种：一、在某个位置加上一个数；二、询问区间[l，r]的和，并输出。
回答：o（n）枚举绝对超时。
再改：
D，给出n个数，n<=1000000，和m个操做，每一个操做修改一段连续区间[a,b]的值
回答：从a枚举到b，一个一个改。。。。。。有点儿常识的人都知道超时
那怎么办？这就须要一种强大的数据结构：线段树。
1、基本概念
一、线段树是一棵二叉搜索树，它储存的是一个区间的信息。
二、每一个节点以结构体的方式存储，结构体包含如下几个信息：
区间左端点、右端点；（这二者必有）
这个区间要维护的信息（事实际状况而定，数目不等）。
三、线段树的基本思想：二分。
四、线段树通常结构如图所示：
五、特殊性质：
由上图可得，
一、每一个节点的左孩子区间范围为[l，mid]，右孩子为[mid+1,r]
二、对于结点k，左孩子结点为2*k，右孩子为2*k+1，这符合彻底二叉树的性质
2、线段树的基础操做
注：如下基础操做均以引例中的求和为例，结构体以此为例：
struct node
{
int l,r,w;//l，r分别表示区间左右端点，w表示区间和
}tree[4*n+1];
线段树的基础操做主要有5个：
建树、单点查询、单点修改、区间查询、区间修改。
一、建树，即创建一棵线段树
① 主体思路：a、对于二分到的每个结点，给它的左右端点肯定范围。
b、若是是叶子节点，存储要维护的信息。
c、状态合并。
②代码
void build(int l,int r,int k) { tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(l==r)//叶子节点 { scanf("%d",&tree[k].w); return ; } int m=(l+r)/2; build(l,m,k*2);//左孩子 build(m+1,r,k*2+1);//右孩子 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//状态合并，此结点的w=两个孩子的w之和 }
③注意
a.结构体要开4倍空间，为啥本身画一个[1,10]的线段树就懂了
b.千万不要漏了return语句，由于到了叶子节点不须要再继续递归了。
二、单点查询，即查询一个点的状态，设待查询点为x
①主体思路：与二分查询法基本一致，若是当前枚举的点左右端点相等，即叶子节点，就是目标节点。若是不是，由于这是二分法,因此设查询位置为x，当前结点区间范围为了l，r，中点为 mid，则若是x<=mid，则递归它的左孩子，不然递归它的右孩子
②代码
void ask(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) //当前结点的左右端点相等，是叶子节点，是最终答案 { ans=tree[k].w; return ; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) ask(k*2);//目标位置比中点靠左，就递归左孩子 else ask(k*2+1);//反之，递归右孩子 }
③正确性分析：
由于若是不是目标位置，由if—else语句对目标位置定位，逐步缩小目标范围，最后必定能只到达目标叶子节点。
三、单点修改，即更改某一个点的状态。用引例中的例子，对第x个数加上y
①主体思路
结合单点查询的原理，找到x的位置；根据建树状态合并的原理，修改每一个结点的状态。
②代码
void add(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r)//找到目标位置 { tree[k].w+=y; return; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) add(k*2); else add(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//全部包含结点k的结点状态更新 }
四、区间查询，即查询一段区间的状态，在引例中为查询区间[x,y]的和
①主体思路
mid=(l+r)/2
y<=mid ,即 查询区间全在，当前区间的左子区间，往左孩子走
x>mid 即 查询区间全在，当前区间的右子区间，往右孩子走
不然，两个子区间都走
②代码
void sum(int k) { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { ans+=tree[k].w; return; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) sum(k*2); if(y>m) sum(k*2+1); }
③正确性分析
状况1，3不用说，对于状况2，最差状况是搜到叶子节点，此时必定知足状况1
五、区间修改，即修改一段连续区间的值，咱们已给区间[a,b]的每一个数都加x为例讲解
Ⅰ.引子
有人可能就想到了：
修改的时候只修改对查询有用的点。
对，这就是区间修改的关键思路。
为了实现这个，咱们引入一个新的状态——懒标记。
Ⅱ 懒标记
（懒标记比较难理解，我尽力讲明白。。。。。。）
一、直观理解：“懒”标记，懒嘛！用到它才动，不用它就睡觉。
二、做用：存储到这个节点的修改信息，暂时不把修改信息传到子节点。就像家长扣零花钱，你用的时候才给你，不用不给你。
三、实现思路（重点）：
a.原结构体中增长新的变量，存储这个懒标记。
b.递归到这个节点时，只更新这个节点的状态，并把当前的更改值累积到标记中。注意是累积，能够这样理解：过年，不少个亲戚都给你压岁钱，但你暂时不用，因此都被你父母扣下了。
c.何时才用到这个懒标记？当须要递归这个节点的子节点时，标记下传给子节点。这里没必要管用哪一个子节点，两个都传下去。就像你若是还有妹妹，父母给大家零花钱时总不能偏爱吧
d.下传操做：
3部分：①当前节点的懒标记累积到子节点的懒标记中。
②修改子节点状态。在引例中，就是原状态+子节点区间点的个数*父节点传下来的懒标记。
这就有疑问了，既然父节点都把标记传下来了，为何还要乘父节点的懒标记，乘本身的不行吗？
由于本身的标记多是父节点屡次传下来的累积，每次都乘本身的懒标记形成重复累积
③父节点懒标记清0。这个懒标记已经传下去了，不清0后面再用这个懒标记时会重复下传。就像你父母给了你5元钱，你不能说由于前几回给了你10元钱, 因此此次给了你15元，那你不就亏大了。
懒标记下穿代码：f为懒标记，其他变量与前面含义一致。
void down(int k) { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f; tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; }
Ⅲ 完整的区间修改代码：
void add(int k) { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)//当前区间所有对要修改的区间有用 { tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x;//(r-1)+1区间点的总数 tree[k].f+=x; return; } if(tree[k].f) down(k);//懒标记下传。只有不知足上面的if条件才执行，因此必定会用到当前节点的子节点 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) add(k*2); if(b>m) add(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//更改区间状态 }
Ⅳ.懒标记的引入对其余基本操做的影响
由于引入了懒标记，不少用不着的更改状态存了起来，这就会对区间查询、单点查询形成必定的影响。
因此在使用了懒标记的程序中，单点查询、区间查询也要像区间修改那样，对用获得的懒标记下传。其实就是加上一句if(tree[k].f) down（k），其他不变。
2017.5.16 以前写的单点修改不须要下传懒标记，在此订正：单点修改也须要下传懒标记
引入了懒标记的单点查询代码：
void ask(int k)//单点查询 { if(tree[k].l==tree[k].r) { ans=tree[k].w; return ; } if(tree[k].f) down(k);//懒标记下传，惟一须要更改的地方 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) ask(k*2); else ask(k*2+1); }
引入了懒标记的区间查询代码：
void sum(int k)//区间查询 { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { ans+=tree[k].w; return; } if(tree[k].f) down(k)//懒标记下传，惟一须要更改的地方 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) sum(k*2); if(y>m) sum(k*2+1); }
3、总结
线段树5种基本操做代码：
#include<cstdio> using namespace std; int n,p,a,b,m,x,y,ans; struct node { int l,r,w,f; }tree[400001]; inline void build(int k,int ll,int rr)//建树 { tree[k].l=ll,tree[k].r=rr; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%d",&tree[k].w); return; } int m=(ll+rr)/2; build(k*2,ll,m); build(k*2+1,m+1,rr); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void down(int k)//标记下传 { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f; tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; } inline void ask_point(int k)//单点查询 { if(tree[k].l==tree[k].r) { ans=tree[k].w; return ; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) ask_point(k*2); else ask_point(k*2+1); } inline void change_point(int k)//单点修改 { if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].w+=y; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) change_point(k*2); else change_point(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void ask_interval(int k)//区间查询 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { ans+=tree[k].w; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) ask_interval(k*2); if(b>m) ask_interval(k*2+1); } inline void change_interval(int k)//区间修改 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y; tree[k].f+=y; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) change_interval(k*2); if(b>m) change_interval(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } int main() { scanf("%d",&n);//n个节点 build(1,1,n);//建树 scanf("%d",&m);//m种操做 for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&p); ans=0; if(p==1) { scanf("%d",&x); ask_point(1);//单点查询,输出第x个数 printf("%d",ans); } else if(p==2) { scanf("%d%d",&x,&y); change_point(1);//单点修改 } else if(p==3) { scanf("%d%d",&a,&b);//区间查询 ask_interval(1); printf("%d\n",ans); } else { scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//区间修改 change_interval(1); } } }
4、空间优化
父节点k，左二子2*k，右儿子2*k+1，须要4*n的空间
但并非全部的叶子节点占用到2n+1——4n
这就形成大量空间浪费
2*n空间表示法：推荐博客：http://www.cppblog.com/MatoNo1/archive/2015/05/05/195857.html
用dfs序表示作节点下标
父节点k，左儿子k+1，右儿子：k+左儿子区间长度*2，不是父节点下标+父节点区间长度。由于当树不满时，二者不相等
具体实现这里就再也不写模板了，就是改改左右儿子的下标
可参考代码： 题目：楼房重建 http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6361242.html
里面的建树用的2*n空间
5、模板题
一、codevs 1080 线段树练习 （单点修改+区间查询） http://codevs.cn/problem/1080/
#include<cstdio> using namespace std; int n,m,p,x,y,ans; struct node { int l,r,w; }tree[400001]; inline void build(int l,int r,int k) { tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(l==r) { scanf("%d",&tree[k].w); return ; } int m=(l+r)/2; build(l,m,k*2); build(m+1,r,k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void add(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].w+=y; return; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) add(k*2); else add(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void sum(int k) { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { ans+=tree[k].w; return; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) sum(k*2); if(y>m) sum(k*2+1); } int main() { scanf("%d",&n); build(1,n,1); scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&p,&x,&y); ans=0; if(p==1) add(1); else { sum(1); printf("%d\n",ans); } } }
二、codevs 1081 线段树练习2 （单点查询+区间修改） http://codevs.cn/problem/1081/
#include<cstdio> using namespace std; int n,p,a,b,m,x,ans; struct node { int l,r,w,f; }tree[400001]; inline void build(int k,int ll,int rr) { tree[k].l=ll,tree[k].r=rr; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%d",&tree[k].w); return; } int m=(ll+rr)/2; build(k*2,ll,m); build(k*2+1,m+1,rr); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void down(int k) { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f; tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; } inline void add(int k) { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x; tree[k].f+=x; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) add(k*2); if(b>m) add(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void ask(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) { ans=tree[k].w; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) ask(k*2); else ask(k*2+1); } int main() { scanf("%d",&n); build(1,1,n); scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&p); if(p==1) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&x); add(1); } else { scanf("%d",&x); ask(1); printf("%d\n",ans); } } }
三、codevs 1082 线段树练习3 （区间修改+区间查询）
#include<cstdio> using namespace std; int n,p,a,b,m,x,y; long long ans; struct node { long long l,r,w,f; }tree[800001]; inline void build(int k,int ll,int rr)//建树 { tree[k].l=ll,tree[k].r=rr; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%d",&tree[k].w); return; } int m=(ll+rr)/2; build(k*2,ll,m); build(k*2+1,m+1,rr); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void down(int k)//标记下穿 { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f; tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; } inline void ask_interval(int k)//区间查询 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { ans+=tree[k].w; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) ask_interval(k*2); if(b>m) ask_interval(k*2+1); } inline void change_interval(int k)//区间修改 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y; tree[k].f+=y; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) change_interval(k*2); if(b>m) change_interval(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } int main() { scanf("%d",&n); build(1,1,n); scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&p); ans=0; if(p==1) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//区间修改 change_interval(1); } else { scanf("%d%d",&a,&b);//区间查询 ask_interval(1); printf("%lld\n",ans); } } }
6、经典例题
> codevs 3981/SPOJ GSS1/GSS3 ——区间最大子段和
> Bzoj3813 奇数国——区间内某个值是否出现过
>洛谷 P2894 酒店 Hotel ——区间连续一段空的长度
> codevs 2421 /Bzoj1858 序列操做——多种操做
> codevs 2000 / BZOJ 2957: 楼房重建——区间的最长上升子序列
Codevs3044 矩形面积求并——扫描线
代码的话到随笔分类——线段树里找找吧 http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/category/933602.html