Catmull-Rom插值算法

Catmull-Rom Spline

一、简要介绍

Catmull-Rom算法保证两点：

1、点P_i 的一阶导数等于P_i+1 - P_i-1，即点P_i 的切向量和其相邻两点连线的切向量是平行的；

2、穿过所有P_i 点。这是与贝塞尔曲线的最大区别，正因为这样的特性，使得Catmull-Rom算法适于用作轨迹线算法。

点Pi处的切线记作：τ (P_i+1 − P_i−1)。此算法的转换矩阵如下：

p(u)=

二、算法推导

首先，此算法工作需要四个点，P₀(P_i-2)、P₁(P_i-1)、P₂(P_i)、P₃(P_i+1)。

τ用于影响扭曲程度。

作为一个立方插值函数，抽象原型如下，我们需要做的就是求出下式中的C₀、C₁、C₂、C₃。

p(u) =

根据下图的抽象，我们可以得出四个等式：


将参数0、1代入即可得：

将C₀、C₁代入其它两式后，可得下式：

解得：

最终结果为：

注意：我们的控制点虽然有4个，但是绘制的曲线却只能够通过中间的两个点。这就带来 如果想曲线同时过这四个点，该怎么处理的问题。其实处理方法十分简单，我们只要人为的构造一个起点和终点来构成四个控制点即可。比如现在有P0，P1，P2，P3，如果用[P0，P1，P2，P3]构造曲线，曲线将只能够通过P1-P2，为了让曲线能够通过P0和P3，我们可以人为的构造出如下的控制点[2P0 - P1，P0，P1，P2]，以及[P1, P2, P3, 2P3 - P2]。通过这样的方法，就能够绘制一条经过所有控制点的曲线了。

参考博客：https://blog.csdn.net/i_dovelemon/article/details/47984241 http://www.bubuko.com/infodetail-550349.html