平面上有一个圆, 圆心坐标为(0,0),半径为n. 问圆周上有多少个整点. 整点的定义即x,y坐标均为整数的点. 算法
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输入文件只有一个正整数n.测试
[HAOI2008]圆上的整点ios
平面上有一个圆, 圆心坐标为(0,0),半径为n. 问圆周上有多少个整点. 整点的定义即x,y坐标均为整数的点. 算法
输入文件只有一个正整数n.测试
输出文件为一个正整数, 即圆周上有多少个整点.spa
20%的测试数据, n<=10000.
100%的测试数据, n<=2000 000 000, 保证答案在long long/int64 范围内..net
样例说明:code
4个整点分别为:(-4,0),(4,0),(0,4),(0,-4)blog
【分析】: ip
样例图示:get
首先,最暴力的算法显而易见:枚举x轴上的每一个点,带入圆的方程,检查是否算出的值是否为整点,这样的枚举量为2*N,显然过不了全点。input
而后想数学方法。
有了上面的推理,那么实现的方法为:
枚举d∈[1,sqrt(2R)],而后根据上述推理可知:必先判d是否为2R的一约数。
此时d为2R的约数有两种状况:d=d或d=2R/d。
第一种状况:d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>,算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2),检查是否此时的A,B知足:A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需知足此条件>,如果就将答案加1
第二种状况:d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>,算出对应的b=sqrt(d-a^2),检查是否此时的A,B知足:A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需知足此条件>,如果就将答案加1
由于这样只算出了第一象限的状况<上面枚举时均是从1开始枚举>,根据圆的对称性,其余象限的整点数与第一象限中的整点数相同,最后,在象限轴上的4个整点未算,加上便可,那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4
【时间复杂度分析】:
枚举d:O(sqrt(2R)),而后两次枚举a:O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d)),求最大公约数:O(logN)
【代码】:
/************************************************************** Problem: 1041 Language: C++ Result: Accepted Time:188 ms Memory:1284 kb ****************************************************************/ #include<stdio.h> #include<string.h> #include<stdlib.h> #include<algorithm> #include<iostream> #include<vector> #include<stack> #include<queue> #include<cmath> using namespace std; long long R,ans=0; long long gcd(long long x,long long y){return x%y==0 ? y : gcd(y,x%y);} bool check(long long y,double x) { if(x==floor(x))//判断整点 { long long x1=(long long)floor(x); if(gcd(x1*x1,y*y)==1 && x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)=1而且A!=B return true; } return false; } int main() { //freopen("input.in","r",stdin); //freopen("output.out","w",stdout); scanf("%lld",&R); for(long long d=1;d<=(long long)sqrt(2*R);d++) { if((2*R)%d==0) { for(long long a=1;a<=(long long)sqrt(2*R/(2*d));a++)//2*a^2<2*r/d { double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a); if(check(a,b)) ans++; } if(d!=(2*R)/d) { for(long long a=1;a<=(long long)sqrt(d/2);a++)//2*a^2<d { double b=sqrt(d-a*a); if(check(a,b)) ans++; } } } } printf("%lld\n",ans*4+4); //system("pause"); return 0; }