永磁同步电机矢量控制（二）————控制原理与坐标变换

时间 2021-01-07 标签电机控制

2、永磁同步电机控制原理

2.1 从PMSM数学模型出发

$\small dq$ 轴电压方程：

$\small \begin{bmatrix} u_{d} \\ u_{q} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R_{s} &-\omega _{e} L_{q}\\ \omega _{e} L_{d}& R_{s} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{d}\\ i_{q} \end{bmatrix}+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\begin{bmatrix} \Psi _{d}\\ \Psi _{q} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ \omega _{e}\Psi _{f} \end{bmatrix}$

$\small dq$ 轴轴磁链方程：

$\small \begin{bmatrix} \Psi_{d} \\ \Psi_{q} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{d} &0\\ 0& L_{q} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{d}\\ i_{q} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \Psi _{f}\\ 0 \end{bmatrix}$

$\small dq$ 轴转矩方程：

$\small T_{e}=\frac{3}{2}p\left ( \Psi _{d}i_{q}-\Psi _{q}i_{d} \right )=\frac{3}{2}p\left [ \Psi _{f}i_{q}+\left ( L_{d}-L_{q}\right )i_{d}i_{q} \right ]$

$\small dq$ 轴运动方程：

$\small T_{e}=T_{L}+\frac{J}{n_{p}}\cdot \frac{\mathrm{d} \omega _{g} }{\mathrm{d} t}$

分析上述方程，如果我们能够控制 $\small i_{d}=0$

那么电压方程就可以简化为：

$\small \left\{\begin{matrix} u_{q}=Ri_{q}+L\frac{\mathrm{d}i_{q} }{\mathrm{d} t}+\Psi _{f}\omega _{e}\\ u_{d}=-\omega _{e}Li_{q} \end{matrix}\right.$

转矩方程为：

$\small \frac{\mathrm{d} \omega _{m}}{\mathrm{d} t}=\frac{K_{t}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega_{m}-\frac{1}{J}T_{L}$

以上式中： $\small \Psi _{f}$ 是永磁体磁链， $\small R$ 和 $\small L$ 是定子绕组的电阻电感， $\small \omega _{e}$ 是电机电角速度， $\small \omega _{m}$ 是电机的机械角速度， $\small P$ 为极对数， $\small K_{t}$ 是转矩常数， $\small J$ 为转动惯量， $\small B$ 为摩擦系数， $\small T_{L}$ 是负载系数。

从以上方程我们可以看出，仅控制 $\small i_{q}$ 我们就可以控制转矩的大小， $\small d$ 轴电压也仅与 $\small i_{q}$ 有关，这样极有益于我们的控制。

并且，当 $\small i_{d}$ =0时，相当于一台典型的他励直流电动机，定子只有交轴分量，且定子磁动势的空间矢量正好和永磁体磁场空间矢量正交。所以为了减少损耗，完全可以将 $\small i_{d}$ =0，降低铜耗。

矢量控制框图如下图所示：

小结：

矢量控制的原理是在永磁同步电机上设法模拟直流电动机的转矩控制规律，经过坐标变换，使其电流矢量分解为产生磁通的电流分量和产生转矩的电流分量，两个分量互相垂直，相互独立。这样就可以对它们进行单独调节，与直流电动机的双闭环控制系统类似。

2.2 坐标变换*

2.2.1 进行坐标转换的原因

永磁同步电机中，定子磁势 $\small F_{s}$ ，转子磁势 $\small F_{r}$ ，气隙磁势之间的夹角都不是 $\small 90^{\circ}$ ，耦合性强，根本无法对磁场和电磁转矩进行独立控制
直流电机励磁磁场垂直于电枢磁势，二者各自独立，互不影响。
直流电机控制策略多种多样，能够使其应对不同场合

所以将永磁同步电机的数学模型分析后，进行坐标变换将其模拟为直流电机进行控制，会很大程度上提高电机可控性和运行效率。

2.2.2 坐标变换基本思路**

不同电机模型等效的原则：在不同坐标系所产生的磁动势完全一致。

如上图中a)中，电机通入三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势，它在空间上是呈正弦分布的，以同步转速 $\small \omega _{1}$ 顺着A-B-C的顺序进行旋转。而旋转磁动势，并不是只有三相绕组才可以产生，通入平衡的多相电流都可以产生想要的旋转电磁场，其中两相的最为简便。只需要通入时间上互查 $\small 90^{\circ}$ 的平衡交流电就可以产生旋转磁场。如果控制a)中和b)中的旋转磁动势的大小和转速都相同，那么即可认为二者等效。

再看c)图，两个互相垂直的绕组M和T，其中通以电流，产生合成磁动势F，显然这个磁动势相对于M和T绕组是固定的，这个时候如果人为的将两个绕组在内的整个铁芯按照以上同步转速旋转，那么即可以产生跟三相绕组等效的旋转磁场。如果假设有人站在这个铁芯上看，这个电机的模型就完全与直流电机等效了。

磁动势的等效也就代表着电流的等效。他 $\small i_{A }/i_{B }/i_{C },i_{a }/i_{b },i_{m }/i_{t }$ 等效，他们三者能产生相同的磁动势，现在最重要的任务就是找到以上三组电流之间准确的等效关系。

2.3 三相静止——两相静止变换——3/2变换

物理基础：各相磁动势=有效匝数*电流大小

如上图所示，为方便起见，将 $\small A$ 相和 $\small \alpha$ 相重合， $\small ABC$ 为三相静止磁动势矢量图， $\small \alpha \beta$ 为两相静止磁动势矢量图。

当两者磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 $\small \alpha \beta$ 轴上的投影相等。

即有以下关系式：

$\small N_{2}i_{\alpha }=N_{3}i_{A}-N_{3}i_{B}cos60^{\circ}-N_{3}i_{C}cos60^{\circ}=N_{3}\left ( i_{A}-\frac{1}{2} i_{B}-\frac{1}{2} i_{C}\right )$

$\small N_{2}i_{\beta }=N_{3}i_{B }sin60^{\circ}-N_{3}i_{C}sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}N_{3}\left ( i_{B}-i_{C}\right )$

有陈伯时书籍附录4所证明，变换前后功率不变时，三相和两相的匝数比为:

$\small \frac{N_{3}}{N_{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

结合以上二式可得变换矩阵为：

$\small \begin{bmatrix} i_{\alpha }\\ i_{\beta } \end{bmatrix}=\sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2} \\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{A }\\ i_{B }\\ i_{C } \end{bmatrix}$

若三相绕组是Y形联结不带零线，那么 $\small i_{a}+i_{b}+i_{c}=0$ ，代入上式可得变换矩阵：

$\small \begin{bmatrix} i_{\alpha }\\ i_{\beta } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sqrt{\frac{3}{2}}&0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \sqrt{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{A }\\ i_{B }\end{bmatrix}$

2.4 两相静止—两相旋转变换——2s/2r变换

如上图所示， $\small \alpha \beta$ 为两相静止坐标系， $\small MT$ 为两相旋转坐标系；

$\small MT$ 坐标系以同步转速 $\small \omega_{1}$ 旋转，且 $\small i_{t}$ 和 $\small i_{m}$ 的长度不变（由于匝数相等约去）。

而 $\small \alpha \beta$ 坐标系是静止不动的， $\small \alpha$ 轴和 $\small M$ 轴之间的夹角 $\small \varphi$ 随着时间而改变，

由此可推算，要使二者磁动势相等效， $\small i_{t}$ 和 $\small i_{m}$ 在 $\small \alpha$ 轴和 $\small \beta$ 轴上的投影要与 $\small i_{a}$ 和 $\small i_{b}$ 等效，即可得出：

$\small \left\{\begin{matrix} i_{\alpha}=i_{m}cos\varphi -i_{t}sin\varphi \\ i_{\beta }=i_{m}sin\varphi +i_{t}cos\varphi \end{matrix}\right.$

从而可得出两相旋转变两相静止的变换矩阵为：

$\small C_{2r/2s}=\begin{bmatrix} cos\varphi &-sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{bmatrix}$

通过对矩阵变换，或者更换公式两边的位置，可得两相静止变两相旋转坐标系为：

$\small C_{2s/2r}=\begin{bmatrix} cos\varphi &sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi \end{bmatrix}$

小结：
永磁同步电机系统是一个非线性系统，通过数学模型，将这个系统拟化成一个他励直流电机模型来控制，会很大程度上降低控制难度，这是控制策略的核心。

而坐标变换的核心是不同坐标系产生磁动势一致，通过各个坐标系之间的等量关系，计算出我们需要的变换矩阵。

有了坐标变换，有了拟化的他励直流电机模型，我们下一步就是进行电流环和转速环的设计了。