3D标量场可视化

阈值渲染模型会丢弃三维图像中保存的大部分数据。除了像医学成像这样的应用程序（其中关注的是少量的密度范围），它就像横截面渲染一样，因为它需要许多视野，这些视图必须在我们心里进行组合，以便用户完全感知该标量场。在像地球物理成像这样的应用中，三维地震图像并不像医学图像那样描述连贯性。因此，阈值渲染并不令人满意，因为它会生成碎片而不是粘合曲面。

散射模型

i）当光线被靠近观察者的云层散射时，模型的一部分会被遮挡。

ii）根据光源的位置创建阴影。

iii）颜色变化是由于不同波长的散射量不同而产生的分离

密度定义

这里的密度定义是无维度关系的，而且因为是随时变化的，所以要用微分形式：

$\rho (x,y,z)=\frac{dV_p}{dV}$

是每个粒子的体积，V是包含粒子的当前微元的体积。

$N_\Omega =\frac{\int_{\Omega}dV_p}{V_p}=\frac{\int_{\Omega}\rho dV}{V_p}$ 表示的是当前空间微元的粒子数。

亮度方程

我们令密度场表示为 $\rho (x(t),y(t),z(t)) = \rho(t)$

在采样光线上的单个微元中的粒子发光强度是：

$\kappa N_\sigma = \kappa \frac{\rho dV}{v_p}= \frac{\kappa \sigma }{v_p}\rho(t)dt$ （单个粒子微元发光的亮度）

$N = \frac{\sigma}{v_p}\int_{t1}^{t}\rho(\lambda )d\lambda$ （采样光线沿途中所有的粒子数）

表示的是到人的眼睛的光强相当于粒子发出的光，同时还在概率P(0;V)下衰减。我们假设概率符合泊松分布：

$P(0;V) = e^{-N}$

所以单个微元发光亮度到最终图像上为：

$I(t) = P(0;V)\kappa N_\sigma=e^{-N} \frac{\kappa \sigma}{v_p}p(t)dt$

总亮度就是：

论文里的这个公式看起来不是很丑（主要是论文太老，翻新以后显示的其他公式实在是太丑了），所以就直接截图了。

我们用常量 $\tau$ 来代替 $\frac{\sigma}{v_p}$ ，然后令 $\frac{\kappa\sigma}{v_p} = 1$ 来标准化整个方程（毕竟我们是在计算机程序中应用，所以不需要完全按照物理的辐射度来优化，只需要找到一个对应关系就好了），得到：

看着是不是超级像体渲染的方程？要注意一点，这里的衰减虽然是按照的概率分布计算的，但是因为概率分布与粒子浓度有关，所以最后得到的方程也是与“发射吸收方程”一样。

因为 $\rho$ 的值在 0-1之间，所以我们采用转换：

我们总体介绍一下这个方程：

高的 $\tau$ 表示衰减更快，高的 $\gamma$ 会增强密集部分相对于较扩散区域的外观，低的 $\gamma$ 表示更弥散：

离散化的方法就不再介绍，与渲染的研究没有什么关系。

颜色映射

现在要注意到，我们以前解决的问题只是明暗度，但是如果我们想显示彩色图呢？（例如下图，左图是明暗度图，右图是上色了的图）

但是因为这种颜色映射方式比较古老，与现在的“传输函数”方面的研究没有太大关系，所以我们就暂且不提了。

结论

与后面的渲染方法大同小异，考虑到了粒子的衰减和粒子的发光，虽然本文的研究中没有阴影效果（没有体现出散射），但是仅靠发光和衰减渲染出的地震波图像效果还是可以的。