本文的主要线路是证实采样定理中的频域变换式。html
其中知识框架以下:
如下将从按照拓扑序进行相关模块的设计web
傅里叶级数相似于泰勒级数,是一种特殊的描述函数的方式。框架
傅里叶级数的定义为:svg
f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 + ∞ ( a n cos ( n w x ) + b n sin ( n w x ) ) f ( x ) = ∑ n = 0 + ∞ ( a n cos ( n w x ) + b n sin ( n w x ) ) , b 0 = 0 f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos(nwx) + b_n \sin(nwx)) \\ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}(a_n \cos(nwx) + b_n \sin(nwx)), b_0=0 f(x)=a0+n=1∑+∞(ancos(nwx)+bnsin(nwx))f(x)=n=0∑+∞(ancos(nwx)+bnsin(nwx)),b0=0函数
它可以描述函数的原理为:傅里叶认为全部周期函数均可以展开成为若干三角函数的求和。spa
上面的原理咱们能够描述为如下的式子:.net
f ( x ) = ∑ i = 1 + ∞ k i sin ( w i x + b i ) = ∑ i = 1 + ∞ k i ( sin ( w i x ) cos ( b i ) + cos ( w i x ) sin ( b i ) ) = ∑ i = 1 + ∞ k i cos ( b i ) sin ( w i x ) + k i sin ( b i ) cos ( w i x ) = ∑ i = 1 + ∞ a i sin ( w i x ) + b i cos ( w i x ) f(x) = \sum_{i=1}^{+\infty}{k_i \sin(w_ix+b_i)} \\ = \sum_{i=1}^{+\infty}k_i (\sin(w_ix)\cos(b_i)+\cos(w_ix)\sin(b_i)) \\ = \sum_{i=1}^{+\infty} k_i \cos(b_i) \sin(w_ix) + k_i \sin(b_i)\cos(w_ix)\\ = \sum_{i=1}^{+\infty} a_i \sin(w_ix) + b_i \cos(w_ix)\\ f(x)=i=1∑+∞kisin(wix+bi)=i=1∑+∞ki(sin(wix)cos(bi)+cos(wix)sin(bi))=i=1∑+∞kicos(bi)sin(wix)+kisin(bi)cos(wix)=i=1∑+∞aisin(wix)+bicos(wix)设计
这个是否是长得很像上面的那个式子啊 ^ _ ^,惟一不一样的就是上面那个式子中 w i w_i wi取的都是整数, 而不是像下面这样随便取值 ( 随便取值这个叫作傅里叶变换, 后面会有的 )xml
那傅里叶展开是啥? 傅里叶展开就是把一个函数的傅里叶级数给求出来. 能够类比泰勒展开是求泰勒级数同样, 傅里叶展开的目的就是求傅里叶级数.htm
这里须要用到的知识有三角函数的正交性.
具体来讲的话就是对于在集合 { 1 , sin x , cos x , sin 2 x , cos 2 x , . . . , sin n x , cos n x } \{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, ... , \sin nx, \cos nx\} { 1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx}中任取两个函数A(x), B(x). 则知足如下性质:
∫ − π π A ( x ) B ( x ) d x = { 0 , A ( x ) ≠ B ( x ) π , A ( x ) = B ( x ) ≠ 1 2 π , A ( x ) = B ( x ) = 1 \int_{-\pi}^{\pi} A(x) B(x) dx = \begin{cases} 0, &A(x) \neq B(x)\\ \pi, &A(x) = B(x) \neq 1\\ 2\pi , &A(x)=B(x) = 1 \end{cases} ∫−ππA(x)B(x)dx=⎩⎪⎨⎪⎧0,π,2π,A(x)=B(x)A(x)=B(x)=1A(x)=B(x)=1
因而就有了求解上面的 a n , b n a_n, b_n an,bn的方法:
a 0 = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x a n = 2 2 π ∫ − π π f ( x ) cos ( n x ) d x b n = 2 2 π ∫ − π π f ( x ) sin ( n x ) d x a_0 = {1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx\\ a_n = {2 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx\\ b_n = {2 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx a0=2π1∫−ππf(x)dxan=2π2∫−ππf(x)cos(nx)dxbn=2π2∫−ππf(x)sin(nx)dx
这里须要注意一个问题, 就是关于傅里叶级数上面的 a 0 a_0 a0的表示方法, 这个有等价形式, 详情请看: 傅里叶级数
而后这里就完成了傅里叶级数和傅里叶展开的简单回顾.
先上欧拉公式的公式
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) e^{i x} = \cos( x) + i \sin( x) eix=cos(x)+isin(x)
这个公式的证实是欧拉完成的, 可是能够有一些有趣的理解:
− x = x ∗ i 2 = x ∗ − 1 -x = x*i^2 = x*-1 −x=x∗i2=x∗−1若是放在数轴上看, 是否是能够把-x当作x逆时针旋转了180°, 那么两个 i i i能让它转180°, 一个 i i i天然可让它转 90°吧? 因此啊, 这个 i i i就能够当作是一个90°旋转角.
因而任何一个二维平面上的点均可以表示成 ∣ A ∣ e ρ i |A|e^{\rho i} ∣A∣eρi的形式. 一样一个点通过了 x ∗ 90 ° x * 90° x∗90°的旋转, 是否是能够表示成这个点原先的位置乘了 e x i e^{xi} exi
除此以外, 这个复指数函数还知足普通指数函数知足的一些性质.
ρ 1 e a i ⋅ ρ 2 e b i = ρ 1 ρ 2 e ( a + b ) i e − i x = cos ( x ) − i sin ( x ) \rho_1 e^{ai} \cdot \rho_2 e^{bi} = \rho_1 \rho_2 e^{(a+b)i}\\ e^{-ix} = \cos(x) - i \sin(x) ρ1eai⋅ρ2ebi=ρ1ρ2e(a+b)ie−ix=cos(x)−isin(x)
剩下的一些其余性质能够看复变函数相关的资料.
先来一个看起来很形象的例子: 一个音符.
时域中的样子多是这样的
其中横轴是时间, 纵轴是你接收到的模拟信号的强度
那么它在频域的信号多是这样的:
它可能表示的信息就是在八分音符的这半拍里面, 它会有一个跟这个音符音高表示的音同样的频率的正弦波出现, 也就是上面那种正弦波
因此, 上图的时域上的正弦波能够用下图频域上一个音高来表示.
在演奏会上, 音乐家手里拿的确定是长得跟下面的"频域"上的谱子, 而不是不少音符演奏出去以后的交错的时域上的谱子(相似于下面这样?)
为啥? 是由于频域在某些时候能更精确简洁反应时域上的变化
那既然知道了从频域到时域的意义, 但是咱们通常能见到的也只有时域上的谱子啊, 咱们怎么搞成频域上面的?
答案是经过傅里叶变换能够将时域上的东西转化到频域上去.
又或者咱们知道了频域上的信息, 怎么去还原这个时域上的信息?
答案是经过傅里叶逆变换, 能够将频域还原回时域上面去.
傅里叶级数假定了函数是连续的并且是周期函数, 傅里叶变换则将全部函数当作了一个周期无限大的函数, 去作这个傅里叶级数的展开.
我的感受本质上傅里叶变换就是更强的傅里叶展开成为傅里叶级数.
咱们先不看傅里叶变换, 普通的傅里叶展开就能够将时域信号转化为频域的信号. 那咋作呢?
既然咱们说任何函数均可以当作是多个三角函数的叠加, 那是否是咱们也能够把一个函数分解成多个三角函数的和?
那必然能够, 咱们这里取一个只有奇数次的三角函数相加的例子:
好, 你已经获得了离散的频域的份量.
咋获得的呢? 这就要看傅里叶变换的输入输出是啥了.
傅里叶变换的输入是一个随时间t变化的函数 f ( t ) f(t) f(t)
傅里叶变换的输出是一个随频率w变化的函数 F ( w ) F(w) F(w)
其中这个w啊, 就是三角函数里面那个频率啊!
若是你把上面那个图的第一条线的频率看做是1, 那么由于后面的频率都是它的整数倍, 因此后面的频率也是一系列的整数.
对于每一个w, 你都能知道一个它的具体形式中 A sin ( w x ) A\sin(wx) Asin(wx)里面的 A 和 w A和w A和w, 那既然w是自变量, A理所应当的就成为了因变量. 也就是对应的 F ( w ) = A F(w) = A F(w)=A. (固然这只是一个形式化的理解)
等下哈, 你把这三个图放在一块儿看, 你看看能发现什么 >_<
是否是很是妙?
啥? 为啥我一开始这么明白的东西还能扯上复指数?
别急, 且听我慢慢道来.
你看那个优美的式子(w是那个最小的频率, n就是对应频谱的那个下标)
f ( t ) = ∑ n = 0 + ∞ a n cos ( n w t ) + b n sin ( n w t ) e i n w t = cos ( n w t ) + i sin ( n w t ) e − i n w t = cos ( n w t ) − i sin ( n w t ) f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \cos(nwt) + b_n \sin(nwt)\\ e^{inwt} = \cos(nwt) + i\sin(nwt)\\ e^{-inwt} = \cos(nwt) - i\sin(nwt) f(t)=n=0∑+∞ancos(nwt)+bnsin(nwt)einwt=cos(nwt)+isin(nwt)e−inwt=cos(nwt)−isin(nwt)
是否是能够作作等价变换啊? 那就先看看三角函数怎么变换吧
cos ( n w t ) = e i n w t + e − i n w t 2 sin ( n w t ) = e i n w t − e − i n w t 2 i \cos(nwt) = {e^{inwt} + e^{-inwt} \over 2}\\ \sin(nwt) = {e^{inwt} - e^{-inwt} \over 2i} cos(nwt)=2einwt+e−inwtsin(nwt)=2ieinwt−e−inwt
而后咱们就把它带到上面那个傅里叶展开式中去
f ( t ) = ∑ n = 0 + ∞ a n e i n w t + e − i n w t 2 + b n e i n w t − e − i n w t 2 i = ∑ n = 0 + ∞ a n ⋅ e i n w t 2 + a n ⋅ e − i n w t 2 + − i b n ⋅ e i n w t 2 + i b n ⋅ e − i n w t 2 = ∑ n = 0 + ∞ e i n w t a n − i b n 2 + ∑ n = 0 + ∞ e − i n w t a n + i b n 2 f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n {e^{inwt} + e^{-inwt} \over 2} + b_n {e^{inwt} - e^{-inwt} \over 2i}\\ =\sum_{n=0}^{+\infty} {a_n \cdot e^{inwt} \over 2} + {a_n \cdot e^{-inwt} \over 2} + {-ib_n \cdot e^{inwt} \over 2} + {ib_n \cdot e^{-inwt}\over 2}\\ =\sum_{n=0}^{+\infty} e^{inwt} {a_n - ib_n \over 2} + \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-inwt} {a_n + ib_n\over 2} f(t)=n=0∑+∞an2einwt+e−inwt+bn2ieinwt−e−inwt=n=0∑+∞2an⋅einwt+2an⋅e−inwt+2−ibn⋅einwt+2ibn⋅e−inwt=n=0∑+∞einwt2an−ibn+n=0∑+∞e−inwt2an+ibn
而后咱们把后半部分式子的n反过来, 也就是
∑ n = 0 + ∞ e − i n w t a n + i b n 2 = ∑ n = 0 − ∞ e i n w t a − n + i b − n 2 \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-inwt}{a_n + ib_n\over 2} = \sum_{n=0}^{-\infty} e^{inwt} {a_{-n} + ib_{-n}\over 2} n=0∑+∞e−inwt2an+ibn=n=0∑−∞einwt2a−n+ib−n
而后把它带回去原来的式子, 而且单独把n=0给拿出来
f ( t ) = ∑ n = 1 + ∞ e i n w t a n − i b n 2 + ∑ n = − 1 − ∞ e i n w t a − n + i b − n 2 + ∑ n = 0 0 e i n w t a 0 f(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} e^{inwt} {a_n - ib_n \over 2} + \sum_{n=-1}^{-\infty} e^{inwt} {a_{-n} + ib_{-n}\over 2} + \sum_{n=0}^{0} e^{inwt} a_0 f(t)=n=1∑+∞einwt2an−ibn+n=−1∑−∞einwt2a−n+ib−n+n=0∑0einwta0
而后你看它是否是都有 e i n w t e^{inwt} einwt?那咱们不如?
f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i n w t c n = { a 0 , n = 0 a n − i b n 2 , n > 0 a − n + i b − n 2 , n < 0 f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{inwt}\\ c_n = \begin{cases} a_0 &,n = 0\\ {a_n-ib_n\over 2} &,n>0\\ {a_{-n}+ib_{-n}\over 2} &,n<0 \end{cases} f(t)=n=−∞∑+∞cneinwtcn=⎩⎪⎨⎪⎧a02an−ibn2a−n+ib−n,n=0,n>0,n<0
展开说说?
{ a 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos ( n w t ) d t b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin ( n w t ) d t { a n = { c n , n = 0 c n + c − n , n > 0 b n = i ( c n − c − n ) , n > 0 \begin{cases} a_0 = {1\over T} \int_{0}^{T} f(t) dt\\ a_n = {2 \over T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(nwt) dt\\ b_n = {2 \over T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(nwt) dt \end{cases} \\ \begin{cases} a_n = \begin{cases} c_n &,n=0\\ c_n + c_{-n} &,n>0 \end{cases}\\ b_n = i(c_n-c_{-n}) ,n>0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧a0=T1∫0Tf(t)dtan=T2∫0Tf(t)cos(nwt)dtbn=T2∫0Tf(t)sin(nwt)dt⎩⎪⎨⎪⎧an={ cncn+c−n,n=0,n>0bn=i(cn−c−n),n>0
而后咱们把这个ab的求法带到c里面去, 看看c长啥样?
先推导那个 c n , n = 0 c_n, n=0 cn,n=0
c 0 = a 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e i n w t d t , n = 0 c_0 = a_0 = {1 \over T} \int_{0}^{T}f(t) dt = {1 \over T} \int_{0}^{T}f(t) e^{inwt} dt, n=0 c0=a0=T1∫0Tf(t)dt=T1∫0Tf(t)einwtdt,n=0
而后推导 c n , n > 0 c_n, n>0 cn,n>0
c n = a n − i b n 2 = 1 2 ( 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos ( n w t ) d t − i 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin ( n w t ) d t ) = 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( cos ( n w t ) − i sin ( n w t ) ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t \begin{aligned} c_n = {a_n-ib_n\over 2} &= {1\over 2}({ {2\over T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(nwt)dt -i {2 \over T} \int_{0}^{T}f(t)\sin(nwt)dt}) \\ &= {1\over T}\int_{0}^{T} f(t) (\cos(nwt) - i\sin(nwt)) dt\\ &= {1\over T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-inwt} dt \end{aligned} cn=2an−ibn=21(T2∫0Tf(t)cos(nwt)dt−iT2∫0Tf(t)sin(nwt)dt)=T1∫0Tf(t)(cos(nwt)−isin(nwt))dt=T1∫0Tf(t)e−inwtdt
而后推导 c n , n < 0 c_n, n<0 cn,n<0
c n = a − n + i b − n 2 = 1 2 ( 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos ( − n w t ) d t + i 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin ( − n w t ) d t ) = 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( cos ( − n w t ) + i sin ( − n w t ) ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e i ( − n w t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t \begin{aligned} c_n = {a_{-n}+ib_{-n}\over 2} &= {1\over 2}({ {2\over T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(-nwt)dt +i {2 \over T} \int_{0}^{T}f(t)\sin(-nwt)dt}) \\ &= {1\over T}\int_{0}^{T} f(t) (\cos(-nwt) + i\sin(-nwt)) dt\\ &= {1\over T} \int_{0}^{T} f(t) e^{i(-nwt)} dt\\ &= {1\over T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-inwt} dt \end{aligned} cn=2a−n+ib−n=21(T2∫0Tf(t)cos(−nwt)dt+iT2∫0Tf(t)sin(−nwt)dt)=T1∫0Tf(t)(cos(−nwt)+isin(−nwt))dt=T1∫0Tf(t)ei(−nwt)dt=T1∫0Tf(t)e−inwtdt
哎? 是否是长得很是同样啊? 那确实啊! 整理一下
c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t , n ∈ Z c_n = {1\over T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-inwt} dt, n\in Z cn=T1∫0Tf(t)e−inwtdt,n∈Z
让咱们回归本源( w w w是一个常量, 表示最小的频率尺度):
f ( t ) = ∑ n = 0 + ∞ a n cos ( n w t ) + b n sin ( n w t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i n w t = 1 T ∑ n = − ∞ + ∞ ( ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t ) e i n w t \begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \cos(nwt) + b_n \sin(nwt)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{inwt}\\ &= {1\over T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}( \int_{0}^{T} f(t) e^{-inwt} dt ) e^{inwt} \end{aligned} f(t)=n=0∑+∞ancos(nwt)+bnsin(nwt)=n=−∞∑+∞cneinwt=T1n=−∞∑+∞(∫0Tf(t)e−inwtdt)einwt
哦对了, 这里补充一下, 为啥会从普通的实数域的 a , b a,b a,b扩展到复数域的这个 c c c.
我我的理解是: 原先经过两个变量 ( a , b ) (a,b) (a,b)来肯定这个函数, 如今能够认为是 ( c r , c i ) (c_r, c_i) (cr,ci)实部和虚部来肯定的
f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i n w t c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t , n ∈ Z f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{inwt}\\ c_n = {1\over T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-inwt} dt, n\in Z f(t)=n=−∞∑+∞cneinwtcn=T1∫0Tf(t)e−inwtdt,n∈Z
你看上面那个东西是否是都有一个最小的频率w, 全部的w取值只能是离散的吧! 那能不能搞成连续的w呢?
等等, 彷佛不用太麻烦, 若是我 w → 0 w\rightarrow 0 w→0足够小, 是否是说全部值都能经过 W = n w W=nw W=nw的形式去表示出来?
那就开始推式子呗, 开始从普通的离散过渡到连续上面去
F ( n w ) = c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t F(nw) = c_n = {1\over T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-inwt} dt F(nw)=cn=T1∫0Tf(t)e−inwtdt
让咱们取 w → 0 w\rightarrow 0 w→0, 带进去看看?
f ( t ) = lim w → 0 ∑ n = − ∞ + ∞ 1 T ( ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − i n w t d t ) e i n w t = lim w → 0 ∑ n = − ∞ + ∞ w 2 π ( ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − i n w t d t ) e i n w t = lim T → + ∞ ∑ n = − ∞ + ∞ w 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n w t d t ) e i n w t \begin{aligned} f(t) &= \lim_{w \rightarrow 0} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} {1\over T} (\int_{-T\over 2}^{T\over 2} f(t)e^{-inwt}dt) e^{inwt}\\ &= \lim_{w \rightarrow 0} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} {w\over 2\pi} (\int_{-T\over 2}^{T\over 2} f(t)e^{-inwt}dt) e^{inwt}\\ &= \lim_{T\rightarrow +\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} {w\over 2\pi} (\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-inwt}dt)e^{inwt} \end{aligned} f(t)=w→0limn=−∞∑+∞T1(∫2−T2Tf(t)e−inwtdt)einwt=w→0limn=−∞∑+∞2πw(∫2−T2Tf(t)e−inwtdt)einwt=T→+∞limn=−∞∑+∞2πw(∫−∞+∞f(t)e−inwtdt)einwt
咱们把这个求和啊给它换成积分好吧
f ( t ) = lim T → + ∞ ∑ n = − ∞ + ∞ w 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n w t d t ) e i n w t = lim T → + ∞ ∫ − ∞ + ∞ w 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n w t d t ) e i n w t d n \begin{aligned} f(t) &= \lim_{T\rightarrow +\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} {w\over 2\pi} (\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-inwt}dt)e^{inwt}\\ &= \lim_{T\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} {w\over 2\pi} (\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-inwt}dt)e^{inwt} dn \end{aligned} f(t)=T→+∞limn=−∞∑+∞2πw(∫−∞+∞f(t)e−inwtdt)einwt=T→+∞lim∫−∞+∞2πw(∫−∞+∞f(t)e−inwtdt)einwtdn
既然 n w nw nw都连续了, 那要不直接用 W W W来代替 n w nw nw呗, 给这个积分换个积分变量!
f ( t ) = lim T → + ∞ ∫ − ∞ + ∞ w 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n w t d t ) e i n w t d n = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t ) e i W t d W = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t ) e i W t d W \begin{aligned} f(t) &= \lim_{T\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} {w\over 2\pi} (\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-inwt}dt)e^{inwt} dn\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} {1\over 2\pi} (\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-iWt}dt)e^{iWt} dW\\ &= {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} (\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-iWt}dt)e^{iWt} dW \end{aligned} f(t)=T→+∞lim∫−∞+∞2πw(∫−∞+∞f(t)e−inwtdt)einwtdn=∫−∞+∞2π1(∫−∞+∞f(t)e−iWtdt)eiWtdW=2π1∫−∞+∞(∫−∞+∞f(t)e−iWtdt)eiWtdW
想一想我们傅里叶变换的输出是啥来着?
输出是对于某个频率的强度 F ( W ) F(W) F(W)啊! 这个是否是就是中间括号里面的东西啊!
这就是傅里叶变换正变换 / 傅里叶变换
F ( W ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t F(W) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-iWt}dt F(W)=∫−∞+∞f(t)e−iWtdt
而后还原回去的过程就是傅里叶变换逆变换 / 逆傅里叶变换
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( W ) e i W t d W f(t) = {1\over 2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(W) e^{iWt} dW f(t)=2π1∫−∞+∞F(W)eiWtdW
F ( W ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i W t d t f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( W ) e i W t d W \begin{aligned} &F(W) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-iWt}dt\\ &f(t) = {1\over 2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(W) e^{iWt} dW \end{aligned} F(W)=∫−∞+∞f(t)e−iWtdtf(t)=2π1∫−∞+∞F(W)eiWtdW
上面这个叫傅里叶变换正变换 / 傅里叶变换, 下面这个叫傅里叶变换逆变换 / 逆傅里叶变换.
首先, 冲激函数并非单位冲激函数, 单位冲激函数 n = 0 n=0 n=0的时候为1, 可是冲激函数 n = 0 n=0 n=0的时候为无穷. 并且经过广义函数相关理论获得冲激函数的一些性质, 并且对于单位冲激函数, 除了第一条不一样, 后两条性质相同
δ ( x ) = { + ∞ , x = 0 0 , x ≠ 0 ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) d x = 1 δ ( x ) ∗ h ( x ) = h ( x ) ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) h ( x ) d x = h ( 0 ) \delta(x) = \begin{cases} +\infty&, x = 0\\ 0&, x\neq 0 \end{cases}\\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx= 1\\ \delta(x) * h(x) = h(x)\\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) h(x) dx = h(0)\\ δ(x)={ +∞0,x=0,x=0∫−∞∞δ(x)dx=1δ(x)∗h(x)=h(x)∫−∞∞δ(x)h(x)dx=h(0)
这些性质从简单大学数学上是很差解释的.记住就好,能够去查阅广义函数、奇异函数相关内容
x a ( t ) x_a(t) xa(t)为抽样信号, x ′ ( t ) x'(t) x′(t)为理想抽样信号, p ( t ) = δ T ( t ) = ∑ m = − ∞ + ∞ δ ( t − m T ) p(t) = \delta_T(t)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\delta(t-mT) p(t)=δT(t)=∑m=−∞+∞δ(t−mT)为周期性的单位抽样函数. 注意, 以上函数都是在t上取值连续的函数
x ′ ( t ) = x a ( t ) ⋅ p ( t ) = x a ( t ) ⋅ ∑ m = − ∞ + ∞ δ ( t − m T ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x a ( t ) δ ( t − m T ) x'(t) = x_a(t) \cdot p(t) = x_a(t) \cdot \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \delta(t-mT)\\ =\sum_{m=-\infty}^{+\infty} x_a(t) \delta(t-mT) x′(t)=xa(t)⋅p(t)=xa(t)⋅m=−∞∑+∞δ(t−mT)=m=−∞∑+∞xa(t)δ(t−mT)
由于 δ ( t − m T ) \delta(t-mT) δ(t−mT)当且仅当 t = m T t=mT t=mT的时候有值, 所以能够认为上式为:
x ′ ( t ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x a ( t ) δ ( t − m T ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x a ( m T ) δ ( t − m T ) x'(t) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x_a(t) \delta(t-mT) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x_a(mT) \delta(t-mT) x′(t)=m=−∞∑+∞xa(t)δ(t−mT)=m=−∞∑+∞xa(mT)δ(t−mT)
X a ( i Ω ) = F x a ( Ω ) X_a(i\Omega) = F_{x_a}(\Omega) Xa(iΩ)=Fxa(Ω), Δ T ( i Ω ) = F δ T ( Ω ) \Delta_T(i\Omega) = F_{\delta_T}(\Omega) ΔT(iΩ)=FδT(Ω), X a ′ ( i Ω ) = F x a ′ ( Ω ) X'_a(i\Omega) = F_{x'_a}(\Omega) Xa′(iΩ)=Fxa′(Ω)也就是对应的频谱的输出结果
x a ′ ( t ) = δ T ( t ) ⋅ x a ( t ) X a ′ ( i Ω ) = 1 2 π [ Δ T ( i Ω ) ∗ X a ( i Ω ) ] x'_a(t) = \delta_T(t) \cdot x_a(t)\\ X'_a(i\Omega) = {1\over 2\pi} [\Delta_T(i\Omega) * X_a(i\Omega)] xa′(t)=δT(t)⋅xa(t)Xa′(iΩ)=2π1[ΔT(iΩ)∗Xa(iΩ)]
(第二个式子还没学会怎么证实, 等学会了补上>_<)
那么咱们就从 Δ T ( t ) \Delta_T(t) ΔT(t)开始求解吧
首先明确一个事情, 就是咱们这个冲激函数求出来以后会近似于原始的冲激函数.(不信你作作逆变换). 为啥要求这个傅里叶展开, 这是为了解决这个函数很差计算的问题
这个周期冲激函数是个周期函数, 因此直接用周期函数的傅里叶展开就好了 Ω s \Omega_s Ωs为抽样频率
δ T ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ c k e i k Ω s t d t \delta_T(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{ik\Omega_st}dt δT(t)=k=−∞∑+∞ckeikΩstdt
而后周期函数的 c k c_k ck求法带进去
c k = 1 T ∫ − T 2 T 2 δ T ( t ) e − i k Ω s t d t ( 展 开 δ T ) = 1 T ∫ − T 2 T 2 ∑ p = − ∞ + ∞ δ ( t − p T ) e − i k Ω s t d t \begin{aligned} c_k &= {1\over T} \int_{-T\over 2}^{T\over 2} \delta_T(t) e^{-ik\Omega_st}dt\\ (展开\delta_T)&= {1\over T} \int_{-T\over 2}^{T\over 2}\sum_{p=-\infty}^{+\infty}\delta(t-pT) e^{-ik\Omega_st}dt \end{aligned} ck(展开δT)=T1∫2−T2TδT(t)e−ikΩstdt=T1∫2−T2Tp=−∞∑+∞δ(t−pT)e−ikΩstdt
发现只有 p = 0 p=0 p=0的时候, t = 0 t=0 t=0在最靠近0的这个周期里面. 因此上面这个式子能够写成(利用一下冲激函数的性质)
c k = 1 T ∫ − T 2 T 2 ∑ p = − ∞ + ∞ δ ( t − p T ) e − i k Ω s t d t = 1 T e − i k Ω s 0 = 1 T \begin{aligned} c_k &= {1\over T} \int_{-T\over 2}^{T\over 2}\sum_{p=-\infty}^{+\infty}\delta(t-pT) e^{-ik\Omega_st}dt\\ &= {1\over T} e^{-ik\Omega_s0} = {1\over T} \end{aligned} ck=T1∫2−T2Tp=−∞∑+∞δ(t−pT)e−ikΩstdt=T1e−ikΩs0=T1
因此啊, 原来那个周期性冲激函数就能够被展开成
δ T ( t ) = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ e i k Ω s t \delta_T(t) = {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{ik\Omega_st} δT(t)=T1k=−∞∑+∞eikΩst
而后这个展开式的图呢, 在最靠近0的这个区间里啊, 大概长这样(我只模拟了80层叠加, 并且是展开以后的叠加)
你看它这个趋势就是在向无穷去叠加, 也就是去模拟这个周期冲激函数.
而后咱们去考虑一下把这个东西给作一下傅里叶变换.
嗯, 列式子吧(看起来很简单!), F T [ ⋅ ] FT[\cdot] FT[⋅] 表示傅里叶变换
Δ T ( i Ω ) = F T [ 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ e i k Ω s t ] = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ F T [ e i k Ω s t ] \begin{aligned} \Delta_T(i\Omega) &= FT[{1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{ik\Omega_st}]\\ &= {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} FT[e^{ik\Omega_st}] \end{aligned} ΔT(iΩ)=FT[T1k=−∞∑+∞eikΩst]=T1k=−∞∑+∞FT[eikΩst]
而后咱们看这个 F T [ e i k Ω s t ] FT[e^{ik\Omega_st}] FT[eikΩst], 它是否是很简单作出来
它有一条性质, 也就是结果, 是 F T [ e i k Ω s t ] = 2 π δ ( Ω − k Ω s ) FT[e^{ik\Omega_st}] = 2\pi\delta(\Omega-k\Omega_s) FT[eikΩst]=2πδ(Ω−kΩs)
而后带进去就能获得:
Δ T ( i Ω ) = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ F T [ e i k Ω s t ] = 2 π T ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( Ω − k Ω s ) = Ω s ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( Ω − k Ω s ) \begin{aligned} \Delta_T(i\Omega) &= {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} FT[e^{ik\Omega_st}]\\ &= {2\pi\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\Omega - k\Omega_s)\\ &= {\Omega_s} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\Omega - k\Omega_s)\\ \end{aligned} ΔT(iΩ)=T1k=−∞∑+∞FT[eikΩst]=T2πk=−∞∑+∞δ(Ω−kΩs)=Ωsk=−∞∑+∞δ(Ω−kΩs)
什么? 你非要推出上面那个性质来? 那就单独开一节吧!
求解下面这个式子
F ( W ) = ∫ − ∞ + ∞ e i k Ω s t ⋅ e − i W t d t F(W) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ik\Omega_st} \cdot e^{-iWt} dt F(W)=∫−∞+∞eikΩst⋅e−iWtdt
而后求解一下这个问题哈:
F ( W ) = { 0 , W ≠ k Ω s + ∞ , W = k Ω s F(W) = \begin{cases} 0&, W\neq k\Omega_s\\ +\infty &,W = k\Omega_s \end{cases} F(W)={ 0+∞,W=kΩs,W=kΩs
哎你看, 这东西是否是冲激函数啊?那咱们给它搞成冲激函数同样的东西呗
F ( W ) = δ ( W − k Ω s ) F(W) = \delta(W-k\Omega_s) F(W)=δ(W−kΩs)
可是这…真的对吗?
让咱们利用一下逆傅里叶变换, 看看能获得些啥?
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( W ) e i W t d W = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ δ ( W − k Ω s ) e i W t d W = 1 2 π e i k Ω s t \begin{aligned} f(t) &= {1\over 2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(W) e^{iWt} dW\\ &= {1\over 2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(W-k\Omega_s) e^{iWt} dW\\ &= {1\over 2\pi} e^{ik\Omega_st} \end{aligned} f(t)=2π1∫−∞+∞F(W)eiWtdW=2π1∫−∞+∞δ(W−kΩs)eiWtdW=2π1eikΩst
哎?是否是少了个系数? 少了个系数 2 π 2\pi 2π哎, 那就搞进去呗
F ( W ) = 2 π δ ( W − k Ω s ) F(W) = 2\pi\delta(W-k\Omega_s) F(W)=2πδ(W−kΩs)
而后就获得了那个显然成立的式子.
X a ′ ( i Ω ) = 1 2 π [ ( 2 π T ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( Ω − k Ω s ) ) ∗ X a ( i Ω ) ] = 1 T [ ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( Ω − k Ω s ) ) ∗ X a ( i Ω ) ] = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ [ δ ( Ω − k Ω s ) ∗ X a ( i Ω ) ] = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ X a ( i θ ) ⋅ δ ( Ω − θ − k Ω s ) d θ ] = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ X a ( i ( Ω − k Ω s ) ) = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ X a ( i ( Ω − k 2 π T ) ) \begin{aligned} X'_a(i\Omega) &= {1\over 2\pi} [({2\pi\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\Omega - k\Omega_s)) * X_a(i\Omega)]\\ &= {1\over T} [\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\Omega - k\Omega_s)) * X_a(i\Omega)]\\ &= {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} [\delta(\Omega - k\Omega_s) * X_a(i\Omega)]\\ &= {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} [\int_{-\infty}^{+\infty} X_a(i\theta) \cdot \delta(\Omega-\theta - k\Omega_s)d\theta ]\\ &= {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_a(i(\Omega - k\Omega_s))\\ &= {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_a(i(\Omega - k{2\pi\over T})) \end{aligned} Xa′(iΩ)=2π1[(T2πk=−∞∑+∞δ(Ω−kΩs))∗Xa(iΩ)]=T1[k=−∞∑+∞δ(Ω−kΩs))∗Xa(iΩ)]=T1k=−∞∑+∞[δ(Ω−kΩs)∗Xa(iΩ)]=T1k=−∞∑+∞[∫−∞+∞Xa(iθ)⋅δ(Ω−θ−kΩs)dθ]=T1k=−∞∑+∞Xa(i(Ω−kΩs))=T1k=−∞∑+∞Xa(i(Ω−kT2π))
这不就是把原先的那个 X a X_a Xa给它左右平移 2 π T 2\pi \over T T2π嘛, 那就是说的延拓周期
Ω s = 2 π T = 2 π f s \Omega_s = {2\pi \over T} = 2\pi f_s Ωs=T2π=2πfs
就是抽样频率啊!
X a ′ ( i Ω ) = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ X a ( i ( Ω − k 2 π T ) ) = Ω s 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ X a ( i ( Ω − k Ω s ) ) \begin{aligned} X'_a(i\Omega) &= {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_a(i(\Omega - k{2\pi\over T}))\\ &= {\Omega_s \over 2\pi} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_a(i(\Omega - k\Omega_s)) \end{aligned} Xa′(iΩ)=T1k=−∞∑+∞Xa(i(Ω−kT2π))=2πΩsk=−∞∑+∞Xa(i(Ω−kΩs))