2021考研数学 高数第三章 微分中值定理及导数应用

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1. 背景

前段时间复习完了高数第三章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 微分中值定理

2.1. 费马引理

设函数 $f(x)$f(x)在点 $x_0$x0​处可导，如果函数 $f(x)$f(x)在点 $x_0$x0​处取得极值，那么 $f(x_0) = 0$f(x0​)=0.

2.2. 罗尔定理

如果 $f(x)$f(x)满足以下条件

1. 在闭区间 $[a, b]$[a,b]上连续
2. 在开区间 $(a, b)$(a,b)内可导
3. $f(a) = f(b)$f(a)=f(b),

则在 $(a, b)$(a,b)内至少存在一点 $\xi$ξ，使得 $f(\xi) \equiv 0$f(ξ)≡0.

$\text{图1 罗尔定理}$图1 罗尔定理

2.3. 拉格朗日中值定理

• 定义

如果 $f(x)$f(x)满足以下条件

1. 在闭区间 $[a, b]$[a,b]上连续
2. 在开区间 $(a, b)$(a,b)内可导，

则在 $(a, b)$(a,b)内至少存在一点 $\xi$ξ，使得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) \tag{3.1}$f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)(3.1)

$\text{图2 拉格朗日中值定理}$图2 拉格朗日中值定理

• 证明

已知函数在闭区间 $[a, b]$[a,b]上连续，在开区间 $(a, b)$(a,b)内可导，构造辅助函数

$y = f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$y=f(a)+b−af(b)−f(a)​(x−a)

可得 $g(a) = g(b)$g(a)=g(b)，又因为 $g(x)$g(x)在 $[a, b]$[a,b]上连续，在开区间 $(a, b)$(a,b)内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点 $\xi \in (a, b)$ξ∈(a,b)，使得 $g'(\xi) = 0$g′(ξ)=0，由此可得

$g'(\xi) = f'(\xi) - \dfrac{f(b)-f(a)}{(b-a)} = 0$g′(ξ)=f′(ξ)−(b−a)f(b)−f(a)​=0

变形得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

定理证毕。

2.4. 柯西中值定理

• 定义

如果 $f(x), F(x)$f(x),F(x)满足以下条件

1. 在闭区间 $[a, b]$[a,b]上连续
2. 在开区间 $(a, b)$(a,b)内可导，且 $F'(x)$F′(x)在 $(a, b)$(a,b)内每一点均不为零，则在 $(a, b)$(a,b)内至少存在一点 $\xi$ξ使得

$\frac{f'(\xi)}{F'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} \tag{3.2}$F′(x)f′(ξ)​=F(b)−F(a)f(b)−f(a)​(3.2)

$\text{图3 柯西中值定理}$图3 柯西中值定理

• 证明

要证明

$\frac{f'(\xi)}{F'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$F′(x)f′(ξ)​=F(b)−F(a)f(b)−f(a)​

可转换为证明

$[f(b) - f(a)]F'(\xi) - [F(b) - F(a)]f'(\xi) = 0$[f(b)−f(a)]F′(ξ)−[F(b)−F(a)]f′(ξ)=0

构造函数

$\varphi(x) = [f(b) - f(a)][F(x) - F(a)] - [F(b) - F(a)][f(x) - f(a)]$φ(x)=[f(b)−f(a)][F(x)−F(a)]−[F(b)−F(a)][f(x)−f(a)]

$\varphi(x)$φ(x)在 $[a, b]$[a,b]上连续，在开区间 $(a, b)$(a,b)内可导，且 $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理可知，存在 $\xi \in (a, b)$ξ∈(a,b)，使得 $\varphi'(\xi) = 0$φ′(ξ)=0，由此可得

$[f(b) - f(a)]F'(\xi) - [F(b) - F(a)]f'(\xi) = 0$[f(b)−f(a)]F′(ξ)−[F(b)−F(a)]f′(ξ)=0

定理证毕。

2.5. 皮亚诺型余项泰勒公式

如果 $f(x)$f(x)在点 $x_0$x0​有至 $n$n阶的导数，则有

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + o[(x - x_0)^n],x \in U{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) } \tag{3.3}$f(x)=n=0∑∞​n!1​f(n)(x0​)(x−x0​)n+o[(x−x0​)n],x∈U(x0​)(3.3)

常称 $R_0 = o(x - x_0)^n$R0​=o(x−x0​)n为皮亚诺余项，若 $x_0 = 0$x0​=0，则得麦克劳林公式

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}} + o(x^n),x \in U{ \left( {0} \right) } \tag{3.4}$f(x)=n=0∑∞​n!1​f(n)(0)xn+o(xn),x∈U(0)(3.4)

2.6. 拉格朗日型余项泰勒公式

设 $f(x)$f(x)在点 $x_0$x0​有至 $n + 1$n+1阶的导数，则当 $x \in (a, b)$x∈(a,b)时有

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + R_n(x) \tag{3.5}$f(x)=n=0∑∞​n!1​f(n)(x0​)(x−x0​)n+Rn​(x)(3.5)

其中 $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1，这里 $\xi$ξ介于 $x_0$x0​与 $x$x之间，称为拉格朗日余项。

2.7. 几个常用的泰勒公式（拉格朗日余项）

$e^x = 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + \frac{e^{\theta x}}{(n + 1)!} x^{n + 1} \tag{3.6}$ex=1+x+2!x2​+⋯+n!xn​+(n+1)!eθx​xn+1(3.6)

$\sin(x) = x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{2n-1}}\over{(2n)!}} + (-1)^{n} \frac{cos(\theta x)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} \tag{3.7}$sin(x)=x−3!x3​+⋯+(−1)n−1(2n)!x2n−1​+(−1)n(2n+1)!cos(θx)​x2n+1(3.7)

$\cos(x) = 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{2n}}\over{(2n)!}} + + (-1)^{n} \frac{cos(\theta x)}{(2n + 2)!}x^{2n + 2} \tag{3.8}$cos(x)=1−2!x2​+⋯+(−1)n(2n)!x2n​++(−1)n(2n+2)!cos(θx)​x2n+2(3.8)

$\ln(1 + x) = x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{n}\over{n}}} + (-1)^{n} \frac{x^{(n + 1)}}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n + 1}} \tag{3.9}$ln(1+x)=x−2x2​+⋯+(−1)n−1nxn​+(−1)n(n+1)(1+θx)n+1x(n+1)​(3.9)

$\begin{aligned} (1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + \\ \frac{[\alpha!/(\alpha - n - 1)!]}{(n + 1)!}(1 + \theta x) ^ {\alpha - n - 1}x^{n + 1} \tag{3.10} \end{aligned}$(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)​x2+⋯+n![α!/(α−n)!]​xn+(n+1)![α!/(α−n−1)!]​(1+θx)α−n−1xn+1​(3.10)

2.8. 不等式的证明

• 基本不等式

$\sin(x) < x < \tan(x), x\in (0, \frac{\pi}{2}) \tag{3.11}$sin(x)<x<tan(x),x∈(0,2π​)(3.11)

$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x, x\in (0, +\infty) \tag{3.12}$1+xx​<ln(1+x)<x,x∈(0,+∞)(3.12)

• 证明方法

1. 单调性

要证明不等式 $f(x) \ge g(x)$f(x)≥g(x)，在 $x \in [a, b]$x∈[a,b]区间恒成立，可转换为

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0 \tag{3.13}$F(x)=f(x)−g(x)≥0(3.13)

即证明在 $[a, b]$[a,b]区间内

$F'(x) > 0, F(a) \le 0 \tag{3.14}$F′(x)>0,F(a)≤0(3.14)

可总结为通过证明构造出的函数 $F(x)$F(x)在闭区间内单调，且在端点值满足条件，从而证明不等式。

2. 拉格朗日中值定理

要证明不等式

$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) <x, (x > 0)$1+xx​<ln(1+x)<x,(x>0)

步骤如下：

令 $f(x) = ln(x)$f(x)=ln(x)， $f(x)$f(x)满足在 $[1, 1+x]$[1,1+x]上连续，在 $(1, 1+x)$(1,1+x)内可导，则在 $(1, 1+x)$(1,1+x)内至少存在一点 $\xi$ξ，使得

$\ln(1 + x) = \ln(1 + x) - \ln(1) = (1 + x - 1)f'(\xi) = \frac{x}{\xi}$ln(1+x)=ln(1+x)−ln(1)=(1+x−1)f′(ξ)=ξx​

又因为 $1 < \xi < (1 + x)$1<ξ<(1+x)，带入端点值则不等式得证。可总结为通过使用拉格朗日中值定理构造的函数

${(b - a)}f'(a) \le {(b - a)}f'(\xi) = {f(b)- f(a)} \le {(b - a)}f'(b)$(b−a)f′(a)≤(b−a)f′(ξ)=f(b)−f(a)≤(b−a)f′(b)

在端点值满足条件，从而证明不等式。

3. 最大最小值

要证明不等式 $f(x) \ge g(x)$f(x)≥g(x)，在 $x \in [a, b]$x∈[a,b]区间恒成立，可转换为

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0$F(x)=f(x)−g(x)≥0

即证明在 $[a, b]$[a,b]区间内有一点 $x_0$x0​满足

$F'(x_0) = 0, \lim\limits_{x \to -x_0}{f(x)} \cdot \lim\limits_{x \to +x_0}{f(x)} < 0$F′(x0​)=0,x→−x0​lim​f(x)⋅x→+x0​lim​f(x)<0

即 $x_0$x0​点为 $[a, b]$[a,b]区间内的极值点，并证明 $x_0$x0​点的值小于其他极小值点和端点值，即 $x_0$x0​点为最小值点。同时

$f(x_0) \ge 0$f(x0​)≥0

则不等式得证。可总结为通过证明最值点满足条件，从而证明不等式。

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3. 导数应用

3.1. 函数的单调性

定理 设 $f(x)$f(x)在 $[a, b]$[a,b]上连续，在 $(a, b)$(a,b)内可导。

1. 若在 $(a, b)$(a,b)内 $f'(x)>0$f′(x)>0，则 $f(x)$f(x)在 $[a, b]$[a,b]上单调递增
2. 若在 $(a, b)$(a,b)内 $f'(x)<0$f′(x)<0，则 $f(x)$f(x)在 $[a, b]$[a,b]上单调递减

3.2. 函数的极值

3.3. 函数的最大值和最小值

3.4. 曲线的凹凸性

定义 设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $I$I 上连续，如果对 $I$I 上任意两点 $x_1, x_2$x1​,x2​，恒有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$f(2x1​+x2​​)<2f(x1​)+f(x2​)​

则称 $f(x)$f(x) 在 $I$I 上的图形是凹的。如果恒有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$f(2x1​+x2​​)>2f(x1​)+f(x2​)​

则称 $f(x)$f(x) 在 $I$I 上的图形是凸的。

3.5. 曲线的渐近线

3.5.1. 渐近线的定义

• 渐近线
  • 若点 $M$M沿曲线 $y = f(x)$y=f(x)无限远离原点时，它与某条直线 $L$L之间的距离将趋近于零，则称直线 $L$L为曲线 $y = f(x)$y=f(x)的一条渐近线。
• 水平渐近线
  • 若直线 $L$L于 $x$x轴平行，则称 $L$L为曲线 $y= f(x)$y=f(x)的水平渐近线；
• 垂直渐近线
  • 若直线 $L$L于 $x$x轴垂直，则称 $L$L为曲线 $y = f(x)$y=f(x)的垂直渐近线；
• 斜渐近线
  • 若曲线即不平行于 $x$x轴，也不垂直于 $y$y轴，则称直线 $L$L为曲线 $y = f(x)$y=f(x)的斜渐近线。

3.5.2. 渐近线的求解

• 水平渐近线
  • 若 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$x→∞lim​f(x)=A，那么 $y = A$y=A是曲线 $y = f(x)$y=f(x)的水平渐近线
    • 或 $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A$x→−∞lim​f(x)=A.
    • 或 $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$x→+∞lim​f(x)=A.
  • 最多两条
• 垂直渐近线
  • 若 $\lim\limits_{x \to x_0s} f(x) = \infty$x→x0​slim​f(x)=∞，那么 $x = x_0$x=x0​是曲线 $y = f(x)$y=f(x)的水平渐近线
    • 或 $\lim\limits_{x \to - x_0} f(x) = A$x→−x0​lim​f(x)=A.
    • 或 $\lim\limits_{x \to + x_0} f(x) = A$x→+x0​lim​f(x)=A.
  • 最多无穷条
• 斜渐近线
  • 若 $\lim\limits_{x \to x_0s} \dfrac{f(x)}{x} = a$x→x0​slim​xf(x)​=a，且 $\lim\limits_{x \to \infty }(f(x) - ax) = b$x→∞lim​(f(x)−ax)=b，那么 $x = x_0$x=x0​是曲线 $y = f(x)$y=f(x)的水平渐近线
    • 或 $\lim\limits_{x \to - \infty }(f(x) - ax) = b$x→−∞lim​(f(x)−ax)=b.
    • 或 $\lim\limits_{x \to + \infty }(f(x) - ax) = b$x→+∞lim​(f(x)−ax)=b.
  • 最多两条，某方向若有水平渐近线，则无斜渐近线，若有斜渐近线，则无水平渐近线。
  • 若一个曲线方程可以写为 $y = ax + b + \alpha(x)$y=ax+b+α(x)，其中 $\alpha(x)$α(x)在 $x \to \infty$x→∞时为无穷小，则有斜渐近线 $y = ax + b$y=ax+b.

3.6. 函数的作图

利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以作出函数曲线。

• 步骤

1. 求定义域，判断是否有无定义点
2. 求 $y'$y′，判断单调性和极值
3. 求 $y''$y′′，判断曲线的凹凸性
4. 求极限，判断渐近线
5. 作图

3.7. 曲线的弧微分与曲率

• 弧微分
  • 定义：设 $y = f(x)$y=f(x)在 $(a, b)$(a,b)内有连续导数，则有弧微分

$ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx \tag{3.15}$ds=1+(y′)2 ​dx(3.15)

• 曲率
  • 定义：设 $y = f(x)$y=f(x)有二阶导数，则有曲率

$K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} \tag{3.16}$K=(1+(y′)2)3/2∣y′′∣​(3.16)

• 曲率半径

  • 定义：称 $\rho = \dfrac{1}{K}$ρ=K1​为曲率半径

• 曲率圆

  • 定义：若曲线 $y = f(x)$y=f(x)在点 $M(x, y)$M(x,y)处的曲率为 $K(K \ne 0)$K(K​=0)，在这点 $M$M处曲线的法线上，在曲线凹的一侧取一点 $D$D，使 $|DM| = \dfrac{1}{K} = \rho$∣DM∣=K1​=ρ，以 $D$D为圆心， $\rho$ρ为半径的圆成为曲线在点 $M$M的曲率圆。

• 曲率中心

  • 定义：曲率圆的圆心 $D$D，称为曲线在点 $M$M处的曲率中心。

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4. 总结

1. 微分中值定理

   • 罗尔定理
   • 拉格朗日中值定理
   • 柯西中值定理
   • 泰勒公式

2. 导数应用

   • 函数的单调性
   • 函数的极值、最值
   • 曲线的凹凸性和渐近线
   • 弧微分与曲率