极限导论

时间 2021-01-12

f(x) = x - 1 当 x != 2

x为虚拟变量

当x趋于2, f(x)的极限等于1, 接近但是不等于,因为x的作用域不包含2

极限是学习微积分的前提, 没有极限就没有微积分,微积分就是讨论两个函数之间的关系

上图中

$\lim_{x->3^{-}}h(x) = 1$ 表示左极限, x从左边趋近3时h(x)的极限是1

$\lim_{x->3^{+}}h(x) = -2$ 表示右极限,x从右边趋近3时h(x)的极限是-2

上图中的函数,在x=3是不连续, 左极限与右极限不相等, 即 $\lim_{x->3}h(x) DNE$ 或者称 $\lim_{x->3}h(x)$ 不存在

1 2

垂直渐近线定义:

当虚拟变量接近一个值, 函数的左极限或者右极限相同并且都是 $\infty$ | $-\infty$

水平渐近线：

f 在 y = L 处有一条右侧水平渐近线, 意味着 $\lim_{x->\infty }f(x) = L$

f 在 y = M 处有一条左侧水平渐近线, 意味着 $\lim_{x->-\infty }f(x) = M$

如果对于所有a附近的x都有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ，且 $\lim_{x->a}g(x) = \lim_{x->a}h(x) = L,$ 则 $\lim_{x->a}f(x) = L$

Example：

求 $f(x) = xsin(\frac{1}{x})$ , x 趋近0时的极限值, $\lim_{x->0}f(x)$ ?

解:

因 $-1 \leq sin(\frac{1}{x}) \leq 1$

得 $-x \leq xsin(\frac{1}{x}) \leq x$ <==> 夹逼定理

因 $\lim_{x->0} -x = 0$ && $\lim_{x->0} x = 0$ ==> $\lim_{x->0} xsin(\frac{1}{x}) = 0$

参考图