手写数字识别问题（3）——详解卷积神经网络LeNet-5

由于卷积神经网络结构较为复杂，因此以示例详解卷积神经网络。
作为手写数字识别的巅峰之作， Yann LeCun等人提出了基于卷积神经网络的一个文字识别系统 LeNet-5。（论文为《Gradient-Based Learning Applied to Document Recognition》）该系统90年代就被用于银行手写数字的识别，且识别率极高。
论文链接如下：
百度学术链接：https://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=80fd293244903d8233327d0e5ba6de62&site=xueshu_se
或
https://download.csdn.net/download/didi_ya/12314987

下面详细解释一下上面这个用于文字识别的LeNet-5深层卷积网络，依次深入了解一下卷积神经网络。

1.输入层（INPUT）32X32图像

首先，输入图片有一个要求，包含数字的部分必须在32*32中间部分，在边缘要留下一定区域的空白地带。The values of the input pixels are normalized so that the background level (white) corresponds to a value of 0.1 and the foreground (black) corresponds to 1.175.
即将输入像素的值进行标准化，使背景级别(白色)对应于0.1的值，而前景(黑色)对应于1.175。原因：所有像素相加平均值为0.

2.卷积层（C1）[email protected]

该卷积层内有6个卷积平面，对应于6个55窗口（卷积核又叫filter或neuron），其运算过程如下图所示。

即有B11=A00K22+A01K21+A10K12+A11*K11

同理：
B12=A01K22+A02K21+A11K12+A12K11
B13=A02K22+A03K21+A12K12+A13K11
B14=A03K22+A04K21+A13K12+A14K11
。。。。。。
输入的32X32图像与5X5filter运算后，得到28X28矩阵（32-5+1=28）。
C1层中每个平面内的权值（5X5=25）是相同的，这称为权值共享。

因此，INPUT——C1层共有5X5X6=150个权值（一个filter有25个权值），还有6个偏置，因此共有156个需要训练的参数。（5X5+1）为一个神经元（一个5X5filter）产生的连接数，每张平面有28X28个神经元（filter），由于有6张平面，因此共有（5X5+1）X28X28X6=122304个连接数。

3.采样层（S2）（也称池化层，Pooling）[email protected]

由4个点（2X2filter）采样（也就是4个数的平均值），乘权值再加偏置，得到一个采样层的值。一层中，所乘的权值和所加的偏置值都是相同的，因此一层中只有2个需要训练的参数。因此共有2X6=12个需要训练的参数。共有（2X2+1）X14X14X6=5880个连接数。

4.卷积层（C3）[email protected]

根据对前面C1层同样的理解，且同样利用5X5filter，我们很容易得到C3层的大小为10x10（14-5+1）. 只不过，C3层的变成了16个10x10网络! 为什么呢？具体的组合规则，在 LeNet-5 系统中给出了下面的表格：

以C3层的第0个平面为例，第0个平面与前面采样层第0、1、2个平面上3个5X5filter相连，以此类推。
观察上图，前6个每个神经元对应于3个平面，6-14每个神经元对应于4个平面，15对应于6个特征平面。为什么这样采样呢？

原因有两个。首先，不完全连接方案将连接数保持在合理的范围内。更重要的是，它迫使网络的对称性被打破。不同的特征映射提取不同的（希望是互补的）特征，因为它们得到不同的输入集。连接数：
(5x5+1)x3x10x10x6+(5x5+1)x4x10x10x9+(5x5+1)x6x10x10=156000
需要训练的参数：(5x5x3+1)x6+(5x5x4+1)x9+(5x5x6+1)x1=1516个。

5.采样层（S4）[email protected]

由4个点（2X2filter）采样（也就是4个数的平均值），乘权值再加偏置，得到一个采样层的值。一层中，所乘的权值和所加的偏置值都是相同的，因此一层中只有2个需要训练的参数。因此共有2X16=32个需要训练的参数。共有（2X2+1）X5X5X16=2000个连接数。

6.卷积层（C5）120

5x5filter与采样层S4卷积运算得到1x1即C5一层只有一个元素。C5中每一个元素与S4中的16个平面全部连接，可以理解为full connection。
需要训练的参数：(5x5x16+1)x120=48120个。

7.连接层（F6）84

全连接，(120+1)x84=10164个训练参数。

这里的激活函数是：双曲正切函数

8.输出层 10

10个手写数字
F6与输出层之间是高斯连接，输出层由欧几里得RBF单元组成，每个类别一个，每个有84个输入。

训练

训练算法与BP神经网络类似，信号前向传播，误差反向传播。注意，卷积中有很多权值共享。

一般的BP神经网络，有一种头重脚轻的感觉，越往输入，神经元越多，权也越多，梯度递减问题就变得尤为严重；纵观整个LeNet-5，越往输出，权值越多，这样的一大好处是，在误差反向传播时，不会过于分散，而使得梯度逐渐消失。
源代码可参考：https://www.codeproject.com/Articles/16650/Neural-Network-for-Recognition-of-Handwritten-Digi

由于卷积神经网络已经应用十分广泛，因此很少要求大家从头开始写一个卷积神经网络。通常就是利用一个框架，实现卷积神经网络。更重要的是，如何利用卷积神经网络的原理和经验，决定卷积神经网络的结构，对哪些参数调优。其他的扔给框架就行了。

一般来说，卷积神经网络对于图像平移、扭曲等，有较强的鲁棒性。