Matrix Inverse -- 逆矩阵

时间 2020-12-25 标签 Matrix Inverse 矩阵可逆

求逆矩阵

如上图所示 $\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}$ 是可逆的，只要 $\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\y_1 & y_2\end{bmatrix}$ 可求出唯一解即可

图中的 $\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\y_1 & y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}$ 可以写成下面形式：

$\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\y_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_2 \\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}$

然后用方程形式求出： $x_1,y_1,x_2,y_2$
$x_1+3y_1=1\\2x_1+7y_1=0\\x_2+3y_2=0\\2x_2+7y_2=1$

得： $x_1=7,y_1=2,x_2=-3,y_2=1$

即： $\begin{bmatrix}x_1 & x_2\\y_1 & y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & -3\\ -2 & 1\end{bmatrix}$

还可以使用增广矩阵方式，将系数矩阵与目标变化矩阵（目标为：单位矩阵）放到一块，再一同处理消元法，将系数变化为目标，最终增广矩阵添加的目标矩阵就变为逆矩阵了：

系数矩阵： $\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}$

目标矩阵： $\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}$

增广矩阵： $\begin{bmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0\\2 & 7 & | & 0 & 1\end{bmatrix}$

然后处理消元：

$\begin{bmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0\\2 & 7 & | & 0 & 1\end{bmatrix}$ – 原始第一步
$\begin{bmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0\\0 & 1 & | & -2 & 1\end{bmatrix}$ – 先消元为上三角：将第二行减去第一行的2倍
$\begin{bmatrix}1 & 0 & | & 7 & -3\\0 & 1 & | & -2 & 1\end{bmatrix}$ – 再将上三角，出对角线的都消为0：将第一行减去第二行的3倍

这是可以看到增广矩阵增加的部分 $\begin{bmatrix} 7 & -3\\ -2 & 1\end{bmatrix}$ 就是我们上面分开来的方程求出来的解。

$\begin{bmatrix}1 & 3 \end{bmatrix}$ 大概是这样

$\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}$ 大概是这样

注意上面是用二维来讲解会比较清楚，推广到N维，也是一样的。