通过向量乘积推导地球两点之间的球面距离

时间  2020-12-30 标签 数学 球面距离
思路：
  • 将点的经纬度坐标转换三维的直角坐标
  • 根据空间中向量乘积公式 a . b = ∣ a ∣ . ∣ b ∣ cos ⁡ θ a.b=|a|.|b|\cos{\theta} ，得到两个点之间的角度
  • 再根据圆弧长与圆角之间的关系 l a b = r θ l_{ab}=r\theta ，得到两个点的球面距离

如下所示
在这里插入图片描述
其中A、B是球面上的两个点，O是球心，平面XOY是赤道平面，X轴方向表示0度经线，Y轴方向表示90度经线，Z轴表示北极方向。
D是A点在赤道平面的投影, ∠AOD表示A点的维度 W A W_A ，∠XOD表示A点的经度 J A J_A 。
C是B点在赤道平面的投影, ∠BOC表示B点的维度 W B W_B ，∠XOC表示B点的经度 J B J_B 。

第1步：坐标转换

x A = ∣ O D ∣ . cos ⁡ ( ∠ X O D ) = ∣ O A ∣ . cos ⁡ ( ∠ A O D ) . cos ⁡ ( ∠ X O D ) = r . cos ⁡ W A . cos ⁡ J A y A = ∣ O D ∣ . sin ⁡ ( ∠ X O D ) = ∣ O A ∣ . cos ⁡ ( ∠ A O D ) . sin ⁡ ( ∠ X O D ) = r . cos ⁡ W A . sin ⁡ J A z A = ∣ A D ∣ = ∣ O A ∣ . sin ⁡ ( ∠ A O D ) = r . sin ⁡ W A x_A=|OD|.\cos{(∠XOD)}=|OA|.\cos{(∠AOD)}.\cos{(∠XOD)}=r.\cos{W_A}.\cos{J_A} \\ y_A=|OD|.\sin{(∠XOD)}=|OA|.\cos{(∠AOD)}.\sin{(∠XOD)}=r.\cos{W_A}.\sin{J_A} \\ z_A=|AD|=|OA|.\sin{(∠AOD)}=r.\sin{W_A}

上面 r r 表示地球半径， 同理可得B点的三维坐标
x B = ∣ O C ∣ . cos ⁡ ( ∠ X O C ) = ∣ O B ∣ . cos ⁡ ( ∠ B O C ) . cos ⁡ ( ∠ X O C ) = r . cos ⁡ W B . cos ⁡ J B y B = ∣ O C ∣ . sin ⁡ ( ∠ X O C ) = ∣ O B ∣ . cos ⁡ ( ∠ B O C ) . sin ⁡ ( ∠ X O C ) = r . cos ⁡ W B . sin ⁡ J B z B = ∣ A D ∣ = ∣ O B ∣ . sin ⁡ ( ∠ B O C ) = r . sin ⁡ W B x_B=|OC|.\cos{(∠XOC)}=|OB|.\cos{(∠BOC)}.\cos{(∠XOC)}=r.\cos{W_B}.\cos{J_B} \\ y_B=|OC|.\sin{(∠XOC)}=|OB|.\cos{(∠BOC)}.\sin{(∠XOC)}=r.\cos{W_B}.\sin{J_B} \\ z_B=|AD|=|OB|.\sin{(∠BOC)}=r.\sin{W_B}

第2步：求解 θ \theta 角度

根据空间中向量乘积公式 O A → . O B → = ∣ O A ∣ . ∣ O B ∣ cos ⁡ θ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=|OA|.|OB|\cos{\theta} ，得到AB两个点之间的角度
cos ⁡ θ = O A → . O B → ∣ O A ∣ . ∣ O B ∣ = O A → . O B → r 2 \cos{\theta}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{|OA|.|OB|}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{r^2}

O A → . O B → = x A . x B + y A . y B + z A . z B = r . cos ⁡ W A . cos ⁡ J A . r . cos ⁡ W B . cos ⁡ J B + r . cos ⁡ W A . sin ⁡ J A . r . cos ⁡ W B . sin ⁡ J B + r . sin ⁡ W A . r . sin ⁡ W B = r 2 . cos ⁡ W A . cos ⁡ W B . ( cos ⁡ J A . cos ⁡ J B + sin ⁡ J A . sin ⁡ J B ) + r 2 . sin ⁡ W A . sin ⁡ W B = r 2 . cos ⁡ W A . cos ⁡ W B . cos ⁡ ( J A − J B ) + r 2 . sin ⁡ W A . sin ⁡ W B \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=x_A.x_B+y_A.y_B+z_A.z_B\\ =r.\cos{W_A}.\cos{J_A}.r.\cos{W_B}.\cos{J_B} +\\ r.\cos{W_A}.\sin{J_A} .r.\cos{W_B}.\sin{J_B} + r.\sin{W_A}.r.\sin{W_B}\\ =r^2.\cos{W_A}.\cos{W_B}.(\cos{J_A}.\cos{J_B}+\sin{J_A}.\sin{J_B})+r^2.\sin{W_A}.\sin{W_B}\\ =r^2.\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +r^2.\sin{W_A}.\sin{W_B}

得到

cos ⁡ θ = cos ⁡ W A . cos ⁡ W B . cos ⁡ ( J A − J B ) + sin ⁡ W A . sin ⁡ W B \cos{\theta}=\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +\sin{W_A}.\sin{W_B}

第3步：求解AB两点的球面距离

根据圆弧长与圆角之间的关系 l a b = r θ l_{ab}=r\theta ，得到
l A B = r . θ = r . arccos ⁡ ( cos ⁡ W A . cos ⁡ W B . cos ⁡ ( J A − J B ) + sin ⁡ W A . sin ⁡ W B ) l_{AB}=r.\theta=r.\arccos({\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +\sin{W_A}.\sin{W_B}})

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