图像处理之_导数微分

1. 一阶导数应用：图像的梯度

1) 用途:

在图像处理中, 常用梯度求取图像的边缘, 这是一个很基础的应用. 下图为在OpenCV中使用cvSobel()函数的具体效果. 四张图分别为: 原图, 在x方向上的梯度, y方向上的梯度, xy方向上的梯度.

2) 二元函数

这里我们只讨论二元函数z=f(x,y)的导数, 通常把二元函数想像成一个曲面, 公式中的x,y,z分别映射到坐标系中的x,y,z轴. 于是我们看到了很多像山坡一样的三维图, 切线, 切面, 很看来很复杂．
我觉得从图像处理的角度看二元函数似乎更容易理解, 为了简化, 我们以一张黑白图为例. x,y轴分别对应成图像的宽和高, 颜色的灰度对应z值: z = f(x,y)，每个像素点的颜色值是其坐标(x,y)的函数．

3) 梯度的定义

函数 z = f(x,y)在区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一个属于D的点P(x,y)，都可定出一个向量，这个向量称为函数 z = f(x,y)在点P处的梯度．记作gradf(x,y). 一般通过求导(微分)来实现的. 导数是函数的局部性质。描述了函数在某一点附近的变化率。

4) 离散图像的梯度

由于图像是一个离散空间，无法求真正的导数，只能通过多项式拟合．图像中某一点的导数，就是该点在x方向和y方向上的变化率．
图像梯度公式如下：
gradf(x,y) = dx i + dy j;
dx(i,j) = I(i+1,j) - I(i,j); // x方向偏导，近似为某行与其上一行的差值
dy(i,j) = I(i,j+1) - I(i,j); // y方向偏导，近似为某列与其上一列的差值
其中，I是图像像素的值(亮度值)，(i,j)为像素的坐标。

5) 如何衡量梯度

梯度就是某一点的变化率, 比如图像中的一点, 它可在多个方向上变化 (比如：上,下,左,右,左上,右下，各个角度…), 到底哪个方向上变化最大? 变化有大呢? 这就是梯度的两个重要量度：梯度的方向和梯度的值．
梯度的方向: 函数f(x,y)在P(x,y)点增长最快的方向, 即方向导数中取到最大值的方向.
梯度的值：方向导数的最大值．

a) 方向导数
如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有

其中φ为x轴到方向l的转角.

b) 梯度的模
梯度是方向导数分别在x,y轴的投影（dx(i,j)，dy(i,j)）．梯度的模就是方向导数的值，用勾股定理求得.

c) 梯度的方向
x轴到l的转角的正切为

已知x,y方向上的偏导, 再通过反正切, 就可以求出具体的角度(与x轴的夹角), 即梯度的方向．

6) 更复杂的情况

为简单说明，上面只考虑了一个象素与它上一行／上一列的差值，实际运算时，一般考虑以它为中心的NxN的小区域，小区域中各点权重不同，通过卷积计算（离得越远的点，权重越小），从而计算它各个方向上的变化．

7) 梯度图像

由图像上各点的梯度值构成的图像成为梯度图像, 往往放在另一个矩阵中, 看起来就是轮廓图, 即上面公式中的gradf(x,y)在各个x,y点上的值的序列.

2. 二阶导数应用：拉普拉斯变换

1) 用途

用于检测团块，边缘检测，突出图像中的孤立点、孤立线或线端点为目的的场合；图像的锐化操作（拉普拉斯变换后的图与原图叠加）

2) 方法

对x和y方向求二阶偏导数，然后相加

该方程的离散形式是

为什么二阶导数这样离散成这种形式呢？以x方向为例（见下图），点与其邻近点的差导是一阶导数，如：
(f(x+1,y) - f(x,y) 和 (f(x,y) - f(x-1,y))
一阶导数（梯度图像）的差异就是二阶导数
(f(x+1,y) - f(x,y)) - (f(x,y) - f(x-1,y)) = f(x+1,y) + f(x-1,y) – 2f(x,y)
y方同理，即得出以上公式

当在图像边缘作用时（例如，从暗到亮）我们可以观察到灰度值的上升必然意味着从正曲度（强度升高）到负曲度（强度达到瓶颈）的变化。因此，拉普拉斯变换结果从正到负（或者相反）组成了一个图像边沿的很好的指示器。另一种方法表达这个事实是说，边沿出现在拉普拉斯变换的过零点处。

3. 参考

1) 多元函数微分法及其应用
《高等数学》下册，“方向导数与梯度”章节

2) 图像处理中的拉普拉斯算子
http://www.cnblogs.com/xfzhang/archive/2011/01/19/1939020.html