概率论--Z=X+Y概率密度的推导

提出问题：

Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y时， f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx fZ​(z)=∫−∞+∞​f(x,z−x)dx是如何推导出的？

背景：

概率论中多维随机变量及其分布板块，若 X , Y X,Y X,Y均为连续型随机变量， F Z ( z ) F_Z(z) FZ​(z)的求法，可用公式

特别的，当 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y 时，

由此可得 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y的概率密度为
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx fZ​(z)=∫−∞+∞​f(x,z−x)dx
……

分析：

“由此可得”，是如何得出的呢？

我们知道， f Z ( z ) = [ F Z ( z ) ] ′ f_Z(z)=[F_Z(z)]' fZ​(z)=[FZ​(z)]′，这个问题就转化为
[ ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z − x f ( x , y ) d y ] ′ = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x [\int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy]'=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx [∫−∞+∞​dx∫−∞z−x​f(x,y)dy]′=∫−∞+∞​f(x,z−x)dx
对于二重积分的求导，一般是将内侧的积分单独看成是一个其积分上限的函数，将二重积分化为一重积分，再对该积分求导，但此处外侧积分的上下限是 ∞ \infty ∞，不含有 x x x，所以需作特殊处理

解答：