点到直线的距离公式推导

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摘自 点到直线距离公式的几种推导 - 三横先生的文章 - 知乎 的三角形面积法，稍做修改并更正书写错误。web

原由

今天在 PPT 里看到一个点到超平面的距离公式 $d = \frac{ 1 }{ \left\| \boldsymbol w \right\| }| \boldsymbol w \cdot \boldsymbol x_0 + \boldsymbol b |$，看了半天没看懂为何这样算，遂去问学霸，答曰“平面状况下就是点到直线的距离公式”。app

万分惭愧，我连初中数学都忘了。ide

三角形面积法

直线 $l$ 方程为 $Ax + By + C = 0$， $A$、 $B$ 均不为 $0$，点 $P(x_0, y_0)$，设点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $d$。svg

设点 $R(x_R, y_0)$，点 $S(x_0, y_S)$。函数

由 $R, S$ 在直线 $l$ 上，获得spa

$Ax_R + By_0 + C = 0$ $Ax_0 + By_S + C = 0$orm

因此xml

$x_R = \frac{ -By_0 - C }{ A }$ $y_S = \frac{ -Ax_0 - C }{ B }$htm

即

$| PR | = | x_0 - x_R | = | x_0 - \frac{ -By_0 - C }{ A } | = | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ A } |$ $| PS | = | y_0 - y_S | = | y_0 - \frac{ -Ax_0 - C }{ B } | = | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ B } |$

因而

$| RS | = \sqrt{ { PR }^2 + { PS }^2 } = \frac{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }{ AB } \cdot | Ax_0 + By_0 + C |$

由 $\Delta_{PSR}$ 得

$d \cdot | RS | = | PR | \cdot | PS |$

即

$d = \frac{ | PR | \cdot | PS | }{ | RS | } = \frac{ | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ A } | \cdot | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ B } | }{ \frac{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }{ AB } \cdot | Ax_0 + By_0 + C | } = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }$

另外一种形式

设函数 $f(x, y) = Ax + By + C$，直线 $l: Ax + By + C = 0$ 的法向量为 $\boldsymbol v(A, B)$。

则点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 为

$d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } = \frac{ f(x_0, y_0) }{ \left\| \boldsymbol v \right\| }$

注： $\left\| \boldsymbol v \right\|$ 为向量 $\boldsymbol v$ 的 2-范数