TOPSIS法(优劣距离法）

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）

如下内容是根据B站清风老师数学建模视频作的笔记（B站指路：数学建模优劣解距离法TOPSIS模型）html

1. 介绍

​ TOPSIS法（优劣解距离法）是一种经常使用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反应法各评价方案之间的差距。web

2. 步骤

（1）第一步：将原始矩阵正向化

• 最多见的四种指标

所谓将原始矩阵正向化，就是要将全部的指标类型统一转化为极大型指标（转化的函数形式不惟一）。app

• 指标类型的转换：ide

  • 极小型指标 -> 极大型指标

  ​ 公式： max - x （若是全部元素均为正数，那么可使用 $\frac{1}{x}$svg

  • 中间型指标 -> 极大型指标函数

    $\{x_i\}$ 是一组中间型指标序列，且最佳的数值为 $x_{best}$ ,那么正向化的公式以下：
    $M = max{\{|x_i - x_{best}| \}}, \quad \hat{x}_i = 1 - \frac{|x_i - x_{best}|}{M}$spa

  • 区间型指标 -> 极大型指标code

    $\{x_i\}$ 是一组区间型指标序列，且最佳的区间为[a, b] ,那么正向化的公式以下：
    $M = max{\{a - min\{x_i\}, \quad max\{x_i\} - b \}, \quad \hat{x}_i = \begin {cases} 1 - \frac{a-x}{M}, \quad x < a \\ \\ 1, \quad a \leq x \leq b \\ \\ 1 - \frac{x-b}{M}, \quad x > b \end {cases} }$orm

（2）第二步：正向化矩阵标准化

• 标准化的目的是消除不一样指标量纲的影响。视频

• 假设有 n 个要评价的对象，m 个评价指标（已经正向化）构成的正向化矩阵以下:
  $X = \left[ \begin {matrix} x_{11} \quad x_{12} \quad \cdots \quad x_{1m} \\ x_{21} \quad x_{22} \quad \cdots \quad x_{2m} \\ \vdots \quad \quad \vdots \quad \quad \ddots \quad \quad \vdots \\ x_{n1} \quad x_{n2} \quad \cdots \quad x_{nm} \end {matrix} \right]$
  那么，对其标准化的矩阵记为Z, Z中的每个元素：
  $z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{ij}^{2}}}$

  ​ 即： $(\frac{每个元素}{其所在列的元素的平方和})$

（3）第三步：计算得分并归一化

假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵：
$Z = \left[ \begin {matrix} z_{11} \quad z_{12} \quad \cdots \quad z_{1m} \\ z_{21} \quad z_{22} \quad \cdots \quad z_{2m} \\ \vdots \quad \quad \vdots \quad \quad \ddots \quad \quad \vdots \\ z_{n1} \quad z_{n2} \quad \cdots \quad z_{nm} \end {matrix} \right]$

• 定义最大值： $Z^{+} = (Z_1^+,Z_2^+,\cdots,Z_m^+)$

  $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= (max{\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n1}\}},\quad max{\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n2}\}}, \quad \cdots, \quad max{\{z_{1m}, z_{2m}, \cdots, z_{nm}\}})$

• 定义最小值： $Z^{-} = (Z_1^-,Z_2^-,\cdots,Z_m^-)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= (min{\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n1}\}},\quad min{\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n2}\}}, \quad \cdots, \quad min{\{z_{1m}, z_{2m}, \cdots, z_{nm}\}})$

• 定义第 $i$ 个 $(i = 1, 2, \cdots, n)$个评价对象与最大值的距离 $D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^m (Z_j^+ - z_{ij})^2}$

• 定义第 $i$ 个 $(i = 1, 2, \cdots, n)$个评价对象与最小值的距离 $D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^m (Z_j^- - z_{ij})^2}$

• 能够计算得出第 $i$ 个 $(i = 1, 2, \cdots, n)$个评价对象未归一化的得分： $S_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}$

​ 显然 $0 \leq S_i \leq 1$， 且 $S_i$越大，越接近最大值

如下是跟着视频敲的代码
topsis.m

% 注意：代码和数据要放在同一个目录下
clear;clc
load data_water_quality.mat

%% 第二步：判断是否须要正向化
[n, m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象,' num2str(m) '个评价指标'])
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否须要通过正向化处理，须要请输入1，不须要请输入0：']);
if Judge == 1
    Position = input('请输入须要正向化处理的指标所在的列，例如第二、三、6列须要处理，那么须要输入[2,3,6]: '); %[2,3,4]
    disp('请输入须要处理的这些列的指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第三列是区间型，第6列是中间型，就输入[1 3 2]: '); %[2 1 3]
    % 注意：Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position, 2)
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)), Type(i), Position(i));
    % Positivization是咱们本身定义的函数，其做用是进行正向化，其一共接受三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i)) 
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型
    % 第三个参数是告诉函数咱们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化以后的指标，咱们能够将其直接赋值给咱们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X = ')
    disp(X)
end

%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X .* X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z), n, 1)) .^ 2],2) .^ 0.5;   % D+(与最大值的距离)向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z), n, 1)) .^ 2],2) .^ 0.5;   % D-(与最小值的距离)向量
S = D_N ./ (D_P + D_N)
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S, index] = sort(stand_S, 'descend')

Positivization.m

function [posit_x] = Positivization(x, type, i)
  if type == 1 %极小型
      disp(['第' num2str(i) '是极小型，正在正向化'])
      posit_x = Min2Max(x); %调用Min2Max函数来正向化
      disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'])
      disp('---------------------分界线---------------------')
  elseif type == 2 %中间型
      disp(['第' num2str(i) '是中间型'])
      best = input('请输入最佳的那一个值： ');
      posit_x = Mid2Max(x,best); %调用Mid2Max函数来正向化
      disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'])
      disp('---------------------分界线---------------------')
  elseif type == 3 %区间型
      disp(['第' num2str(i) '是区间型'])
      a = input('请输入区间的下界： ');
      b = input('请输入区间的上界： ');
      posit_x = Inter2Max(x, a, b); %调用Inter2Max函数来正向化
      disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'])
      disp('---------------------分界线---------------------')
  else
      disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了一、二、3以外的值')
  end
end

Min2Max.m

function [posit_x] = Min2Max(x)
   posit_x = max(x) - x;
   % 若是x所有都大于0，也能够这样正向化：posit_x = 1/x;
end

Mid2Max.m

function [posit_x] = Mid2Max(x, best)
   M = max(abs(x-best));
   posit_x = 1 - abs(x-best)/M;
end

Inter2Max.m

function [posit_x] = Inter2Max(x, a, b)
   r_x = size(x, 1);
   M = max([a-min(x), max(x)-b]);
   posit_x = zeros(r_x, 1); %初始化posit_x全为0
   for i = 1:r_x
       if x(i) < a
           posit_x(i) = 1 - (a - x(i))/M;
       elseif x(i) > b
           posit_x(i) = 1 - (x(i) - b)/M;
       else
           posit_x(i) = 1;
       end
   end
end