信号与系统（8）- 复指数形式的傅里叶级数

满足Direchlet条件的周期信号或特定时间区间的信号可以被傅里叶级数在功率上没有误差的表达，常见的傅里叶级数的形式有两种，即：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n c o s ( n Ω t ) + b n s i n ( n Ω t ) ] a n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) c o s ( n Ω t ) d t b n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) s i n ( n Ω t ) d t \begin{aligned} f(t) &= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_ncos(n\Omega t)+b_nsin(n\Omega t)] \\a_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt \\b_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt \end{aligned} f(t)an​bn​​=2a0​​+n=1∑+∞​[an​cos(nΩt)+bn​sin(nΩt)]=t2​−t1​2​∫t1​t2​​f(t)cos(nΩt)dt=t2​−t1​2​∫t1​t2​​f(t)sin(nΩt)dt​
或
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n c o s ( n Ω t + φ n ) A n = a n 2 + b n 2 , φ n = − a r c t a n b n a n \begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\A_n &= \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \\\varphi_n &= -arctan\frac{b_n}{a_n} \end{aligned} f(t)An​φn​​=2a0​​+n=1∑+∞​An​cos(nΩt+φn​)=an2​+bn2​ ​,=−arctanan​bn​​​
这两种表达方式在物理上很容易理解，即信号可以被分解为一个直流分量，和一系列交流分量的叠加。除了这两种表达方式，傅里叶级数的复指数形式也是最常见的表达形式，这种形式在计算上具有很大的优势。

1. 如何获得傅里叶级数的复数形式？

和之前讨论的信号分解累，如果存在一组正交函数集，则信号可以通过正交函数集中的子信号的叠加进行表示。子信号的系数称为相关系数。相关内容可以回顾信号与系统（6）- 信号频域研究的思路及正交函数集。正弦函数集是一套正交函数集，除此之外，复指数函数也是正交函数集，即：
{ 1 , e j Ω t , e j 2 Ω t , e j 3 Ω t ⋯   , e j n Ω t } \{ 1, e^{j\Omega t }, e^{j2\Omega t }, e^{j3\Omega t }\cdots, e^{jn\Omega t }\} {1,ejΩt,ej2Ωt,ej3Ωt⋯,ejnΩt}
或记为：
{ e j n Ω t   ∣ n ∈ I } \{ e^{jn\Omega t }\space|n \in I \} {ejnΩt ∣n∈I}
则信号 f ( t ) f(t) f(t)通过复指数正交函数集展开为：
f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ C n ⋅ e j ( n Ω t ) ] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}] f(t)=n=−∞∑+∞​[Cn​⋅ej(nΩt)]
注意求和上下限为从负无穷到正无穷，这意味着复指数形式的傅里叶变换会出现“负频率”。至于为什么出现负频率将在之后解答。

由之前正交函数集的知识可知，上式中系数 C n C_n Cn​为：
C n = ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ ( e j n Ω t ) ∗ ∫ t 1 t 2 ( e j n Ω t ) ( e j n Ω t ) ∗ = 1 T ∫ t 1 t 2 f ( t ) e j n Ω t d t C_n=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{j{n\Omega t}})^*}{\int_{t_1}^{t_2}(e^{j{n\Omega t}})(e^{j{n\Omega t}})^*} = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{jn\Omega t}dt Cn​=∫t1​t2​​(ejnΩt)(ejnΩt)∗∫t1​t2​​f(t)⋅(ejnΩt)∗​=T1​∫t1​t2​​f(t)ejnΩtdt
上式即为傅里叶级数的复数形式，其中 Ω = 2 π T \Omega = \frac{2\pi}{T} Ω=T2π​，且 f ( t ) f(t) f(t)是周期为T的函数，故n取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。n=0时对应的这一项称为直流分量，n=1时具有基波频率，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

同之前讲述的实数范围内的傅里叶级数展开一样，复指数形式的傅里叶级数展开同样具有另一种表达方式。已知傅里叶级数为：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n c o s ( n Ω t + φ n ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) f(t)=2a0​​+n=1∑+∞​An​cos(nΩt+φn​)
由欧拉公式：
c o s ω t = e j ω t + e − j ω t 2 cos\omega t = \frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2} cosωt=2ejωt+e−jωt​
则：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n c o s ( n Ω t + φ n ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n e j ( n Ω t + φ n ) + e − j ( n Ω t + φ n ) 2 = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n e j ( n Ω t + φ n ) + e j [ − ( n ) Ω t + ( − φ n ) ] 2 = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n 2 e j ( n Ω t + φ n ) + ∑ n = − 1 − ∞ A n 2 e j ( n Ω t + φ n ) \begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\frac{e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+e^{-j(n\Omega t + \varphi_n)}}{2} \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\frac{e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+e^{j[-(n)\Omega t + (-\varphi_n)]}}{2} \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+\sum_{n=-1}^{-\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)} \end{aligned} f(t)​=2a0​​+n=1∑+∞​An​cos(nΩt+φn​)=2a0​​+n=1∑+∞​An​2ej(nΩt+φn​)+e−j(nΩt+φn​)​=2a0​​+n=1∑+∞​An​2ej(nΩt+φn​)+ej[−(n)Ωt+(−φn​)]​=2a0​​+n=1∑+∞​2An​​ej(nΩt+φn​)+n=−1∑−∞​2An​​ej(nΩt+φn​)​
回顾傅里叶级数的第二种形式
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n c o s ( n Ω t + φ n ) A n = a n 2 + b n 2 , φ n = − a r c t a n b n a n \begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\A_n &= \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \\\varphi_n &= -arctan\frac{b_n}{a_n} \end{aligned} f(t)An​φn​​=2a0​​+n=1∑+∞​An​cos(nΩt+φn​)=an2​+bn2​ ​,=−arctanan​bn​​​
若 f ( t ) f(t) f(t)是实数信号，则 A n A_n An​是 n n n的偶函数，而 φ n \varphi_n φn​是 n n n的奇函数。如果将求和的范围从 [ 1 , + ∞ ] [1,+\infty] [1,+∞]扩展到 [ − 1 , − ∞ ] [-1,-\infty] [−1,−∞]，则有 φ − n = − φ n \varphi_{-n}=-\varphi_{n} φ−n​=−φn​以及 A − n = A n A_{-n}=A_n A−n​=An​，此时 n ∈ [ − 1 , − ∞ ] n \in[-1,-\infty] n∈[−1,−∞]，因此有：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n c o s ( n Ω t + φ n ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n e j ( n Ω t + φ n ) + e − j ( n Ω t + φ n ) 2 = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n e j ( n Ω t + φ n ) + e j [ − ( n ) Ω t + ( − φ n ) ] 2 = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n 2 e j ( n Ω t + φ n ) + ∑ n = − 1 − ∞ A n 2 e j ( n Ω t + φ n ) \begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\frac{e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+e^{-j(n\Omega t + \varphi_n)}}{2} \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\frac{e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+e^{j[-(n)\Omega t + (-\varphi_n)]}}{2} \\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+\sum_{n=-1}^{-\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)} \end{aligned} f(t)​=2a0​​+n=1∑+∞​An​cos(nΩt+φn​)=2a0​​+n=1∑+∞​An​2ej(nΩt+φn​)+e−j(nΩt+φn​)​=2a0​​+n=1∑+∞​An​2ej(nΩt+φn​)+ej[−(n)Ωt+(−φn​)]​=2a0​​+n=1∑+∞​2An​​ej(nΩt+φn​)+n=−1∑−∞​2An​​ej(nΩt+φn​)​
若 n = 0 n=0 n=0时 φ n \varphi_n φn​记为 φ 0 = 0 \varphi_0 = 0 φ0​=0， A n A_n An​记为 A 0 = a 0 A_0=a_0 A0​=a0​，则上式可以统一化表示为：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n 2 e j ( n Ω t + φ n ) + ∑ n = − 1 − ∞ A n 2 e j ( n Ω t + φ n ) = 1 2 ∑ n = − ∞ + ∞ A n e j φ n ⋅ e j n Ω t = 1 2 ∑ n = − ∞ + ∞ A ˙ n ⋅ e j n Ω t \begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)}+\sum_{n=-1}^{-\infty}\frac{A_n}{2}e^{j(n\Omega t + \varphi_n)} \\&=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_ne^{j\varphi_n}\cdot e^{jn\Omega t} \\&=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\dot A_n\cdot e^{jn\Omega t} \end{aligned} f(t)​=2a0​​+n=1∑+∞​2An​​ej(nΩt+φn​)+n=−1∑−∞​2An​​ej(nΩt+φn​)=21​n=−∞∑+∞​An​ejφn​⋅ejnΩt=21​n=−∞∑+∞​A˙n​⋅ejnΩt​
上式即傅里叶级数复数形式的第二种表达方式，其中
A ˙ n = A n e j φ n = a n 2 + b n 2 ( c o s φ n + j s i n φ n ) φ n = − a r c t a n ( b n a n ) \begin{aligned} &\dot A_n = A_ne^{j\varphi_n} = \sqrt{a_n^2+b_n^2}(cos \varphi_n + j sin\varphi_n) \\&\varphi_n=-arctan(\frac{b_n}{a_n}) \end{aligned} ​A˙n​=An​ejφn​=an2​+bn2​ ​(cosφn​+jsinφn​)φn​=−arctan(an​bn​​)​
通过三角函数运算可知：
若   φ n = − a r c t a n ( b n a n ) 则   c o s ( φ n ) = a n a n 2 + b n 2 ,   s i n ( φ n ) = − b n a n 2 + b n 2 \begin{aligned} &若\space \varphi_n=-arctan(\frac{b_n}{a_n}) \\&则\space cos(\varphi_n)=\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}, \space sin(\varphi_n)=-\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \end{aligned} ​若 φn​=−arctan(an​bn​​)则 cos(φn​)=an2​+bn2​ ​an​​, sin(φn​)=−an2​+bn2​ ​bn​​​
所以 A ˙ n \dot A_n A˙n​也可以表示为：
A ˙ n = a n − j b n = 2 T ∫ t 1 t 2 f ( t ) c o s ( n Ω t ) d t − j = 2 T ∫ t 1 t 2 f ( t ) s i n ( n Ω t ) d t = 2 T ∫ t 1 t 2 f ( t ) [ c o s ( n Ω t ) − j s i n ( n Ω t ) ] 由 e j ω t = c o s ω t + j s i n ω t , e − j ω t = c o s ω t − j s i n ω t 可 知 = 2 T ∫ t 1 t 2 f ( t ) e − j Ω t d t \begin{aligned} \dot A_n &= a_n - jb_n \\&=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt-j=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt \\&=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)[cos(n\Omega t)-jsin(n\Omega t)] \\由e^{j\omega t}&=cos\omega t+jsin\omega t,e^{-j\omega t}=cos\omega t-jsin\omega t可知 \\&=\frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-j\Omega t}dt \end{aligned} A˙n​由ejωt​=an​−jbn​=T2​∫t1​t2​​f(t)cos(nΩt)dt−j=T2​∫t1​t2​​f(t)sin(nΩt)dt=T2​∫t1​t2​​f(t)[cos(nΩt)−jsin(nΩt)]=cosωt+jsinωt,e−jωt=cosωt−jsinωt可知=T2​∫t1​t2​​f(t)e−jΩtdt​
对比第一种傅里叶级数复数形式和第二种傅里叶级数复数形式可知：
C n = A ˙ n 2 = A n e j φ n 2 = a n − j b n 2 C_n = \frac{\dot A_n}{2}=\frac{ A_ne^{j\varphi_n}}{2}=\frac{a_n - jb_n}{2} Cn​=2A˙n​​=2An​ejφn​​=2an​−jbn​​

问题：负频率的出现有什么意义？

傅里叶级数的实数形式在物理上很好理解，但是计算相对繁琐。而复指数形式的傅里叶级数因为引入了指数运算，因此在计算上会相对容易，但是负频率的出现会让人难以理解其物理意义。观察欧拉关系或复指数的定义：
e j ω t = c o s ω t + j s i n ω t ,   或   c o s ω t = e j ω t + e − j ω t 2 e^{j\omega t} = cos\omega t +jsin\omega t,\space 或\space cos\omega t = \frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2} ejωt=cosωt+jsinωt, 或 cosωt=2ejωt+e−jωt​
可知，正数频率的复指数信号 e j ω t e^{j\omega t} ejωt和负数频率的复指数信号 e − j ω t e^{-j\omega t} e−jωt，这两者共同构成了实数信号 c o s ω t cos\omega t cosωt。因此可以粗略的理解为，负频率的出现，是为了实现通过复指数信号构成一个实数信号的目的。

2. 四种傅里叶级数的形式对比

实数形式的傅里叶变换和复数形式的傅立叶变换本质上是一回事，但是表现的形式不同。他们之间存在很密切的联系，其对比如下：

不论哪种傅里叶级数的形式，可以看出，任何周期性的，或某特定时间区间的，满足Direchlet条件的信号都可以分解为直流分量和不同交流分量的得加。傅里叶级数的本质同样是使用子信号对复杂信号的表示这与之前时域分析中的思路是完全一致的。

当获得系统对子信号的响应，最后将子信号的响应进行叠加，即可求得系统对原信号的响应。

3. 复指数信号长什么样子？

{ e j n Ω t   ∣ n ∈ I } \{ e^{jn\Omega t }\space|n \in I \} {ejnΩt ∣n∈I}表示一种复正弦信号，有关这个信号的图像可以通过MATLAB或SCILAB进行绘制，如下：

可以看出，复指数函数是一个螺旋线，在实数轴上是余弦曲线，在虚数轴上是正弦曲线。复指数信号中的n可以为正数也可以为负数，此时频率 n Ω n\Omega nΩ便出现了小于零的负频率。这在物理上没有意义，但是数学上会简化运算。有关这个函数的性质以及虚数的意义，将在之后必要的时候进行讨论。

4. 函数奇偶性和傅里叶级数的关系

函数的奇偶性对傅里叶级数具有一定的影响，有时候会简化对傅里叶级数的计算

1. 如果函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量，即：偶函数之和仍是偶函数
2. 如果函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量，即：奇函数之和仍是奇函数
3. 符合 f ( t + T 2 ) = − f ( t ) f(t+\frac{T}{2})=-f(t) f(t+2T​)=−f(t)的函数称为奇谐函数，其傅里叶级数中仅由奇次谐波分量
4. 符合 f ( t + T 2 ) = f ( t ) f(t+\frac{T}{2})=f(t) f(t+2T​)=f(t)的函数称为偶谐函数，其傅里叶级数中仅由偶次谐波分量

事实上，任何信号均可以分解成为一个奇函数和一个偶函数的和，并且信号的平移可以改变信号的奇偶性，如下所示：
f ( t ) = f e ( t ) + f o ( t ) = f ( t ) + f ( − t ) 2 + f ( t ) − f ( − t ) 2 f(t)=f_e(t)+f_o(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}+\frac{f(t)-f(-t)}{2} f(t)=fe​(t)+fo​(t)=2f(t)+f(−t)​+2f(t)−f(−t)​
因此，若已知信号灯的奇偶性，则计算傅里叶系数时，仅需计算部分系数即可。

至此，傅里叶级数相关的内容完成，下一部分将阐述傅里叶级数的频谱特点。

谢谢阅读，如有不当之处，欢迎批评指正！