【离散椭圆弧】将椭圆弧按弧长等分为一定数量弧上点

由于椭圆弧长积分的解析解不存在，用数值分析方法近似求解。

下面以第一象限椭圆弧为例说明一种近似求解方法，

（1）首先圆是椭圆的特殊形式，长短轴长相等，对于圆心角为θ的圆弧长为R*θ，

当圆心角足够小时可以认为tanθ≈θ，弧长可以认为L≈R*tanθ≈R*θ，其中明R为圆心到微段弧上点的距离，

这个近似简化对于椭圆弧同样有效。

（2）对于椭圆存在

x=a*cosθ

y=b*sinθ，

在此约定θ为逆时针方向与X轴之间的夹角，

图中点P对应的参数角θ如图所示，α为其对应的扫略角，θ和α之间可以相互转换，方法见博主上篇文章，

圆心O到点P之间距离|OP|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt[(a*cosθ)^2+(b*sinθ)^2)]，可得θ与|OP|的关系，

（3）当a=50,b=30时，得|OP|在不同θ时值，

以θ为x轴，|OP|为y轴时，曲线图近似为折线段如图中绿色线curve1，

绿色线curve1与x轴之间面积即为θ为0~PI/2时对应椭圆弧长，此时可将绿色线curve1近似为图中白色直线段curve2（为了更精确也可简化为连续折线段），

即白色线curve2与x轴之间面积A=（a+b）*(PI/4),近似为θ为0~PI/2时对应椭圆弧长，

此时将椭圆弧按长度等分即可转化为将面积A按θ等分问题，

curve2斜率为k=(b-a)/(PI/2),方程为y=(2b-2a)/PI*x+a,其与x轴之间面积积分为

∫ydx=∫[(2b-2a)/PI*x+a]dx=(b-a)/PI*x^2+a*x+c,其中c为常数项，

令f(x)=(b-a)/PI*x^2+a*x，若将椭圆弧等分位n份，每份面积为A/n，

f(θ1)-f(0)=f(θ1)=A/n，

f(θ2)-f(θ1)=A/n,

...

f(θn)-f(θn-1)=A/n，

先求θ1，再通过递推即可求得θ2~θn的值，

再按椭圆参数方程即可求得对应离散点。

当n为10时，离散点如下，

误差主要原因为上述将绿色曲线curve1简化为白色直线curve2造成的，

如需更精确，可以将curve1简化为几段相连的直线段。

对于任意其他椭圆弧离散也是相同的道理。

希望可以一块探讨更优方法。