动态规划-解题4步曲

问题描述与分析

问题

以换硬币问题来讲解一下动态规划解题4步曲：
你有三种硬币，分别面值2元，5元和7元，每种硬币都有足够多。买一本书需要27元。如何用最少的硬币组合正好付清，不需要对方找钱？

关键词“用最少的硬币组合”——求最值问题，可以用动态规划来解决。

简单分析

正常人第一反应思路:
最少硬币组合?
优先使用大面值硬币——7+7+7+5=26 额？可求解目标是27啊……
改算法——7+7+7+2+2+2=27，总共用了6枚硬币正好27元.
实际正确答案：7+5+5+5+5=27，才用了5枚硬币。
所以这里贪心算法是不正确的。

解题思路

动态规划解题套路用起来。

第一步：确定状态

状态在动态规划中的作用属于定海神针。解动态规划时需要开一个数组，这里的“状态”就是指数组的每个元素f[i]或f[i][j]代表什么。

确定状态需要两个意识：最后一步和子问题

1.最后一步

这道题中，我们不知道最优策略是什么，但最优策略肯定是K枚硬币a1,a2……aK面值加起来是27。
这里的“最后一步”就是存在最后一枚硬币aK。

除去aK，前面的硬币面值和为27-aK。

这里有两个关键点：

① 我们不关心前面的K-1枚硬币是怎么拼出27-aK的，我们也不知道aK和K，但是我们确定前面的硬币拼出了27-aK。

② 因为是最优策略，所以拼出的27-ak硬币数一定要最少，否则就不是最优策略。

2.子问题

现在问题变成了：最少用多少枚硬币可以拼出27-aK。也就是将原问题（27）转化成了一个子问题，而且规模更小（27-aK）。

这种与原问题内核一致，但是规模更小的问题，就叫子问题。

为了简化定义，我们设状态f(X)=最少用多少枚硬币拼出X。所以问题就从求f(X)变成求f(X-aK)

我们目前还不知道最后的硬币aK面额多少，但它的面额一定只可能是2/5/7之一。
如果aK是2，f(27)应该是f(27-2) + 1 (加上最后这一枚面值2的硬币）
如果aK是5，f(27)应该是f(27-5) + 1 (加上最后这一枚面值5的硬币）
如果aK是7，f(27)应该是f(27-7) + 1 (加上最后这一枚面值7的硬币）
除此以外，没有其他的可能了。

因为要求最少的硬币数，所以问题的解就可以这样表示：

f(27) = min{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1}

第二步：转移方程

设状态f[X]=最少用多少枚硬币拼出X
对于任意X，f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}

如果正确列出转移方程，问题基本就解决一半了。

大家基本也可以做到写出状态转移方程，但真正写程序的时候往往会出现很多错误或问题。

这就涉及到在在代码前的两个重要步骤，就是我们4步解题法的第三步和第四步。

第三步：初始条件和边界情况

f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}的边界情况是X-2, X-5或者X-7不能小于0（硬币面值为正）

故对边界情况设定如下：

如果硬币面值不能组合出Y，就定义f[Y]=正无穷
例如f[-1]=f[-2]=…=正无穷；
f[1] =min{f[-1]+1, f[-4]+1,f[-6]+1}=正无穷,表示拼不出1

特殊情况：本题的F[0]对应的情况为F[-2]、F[-5]、F[-7]，按照上文的边界情况设定结果是正无穷。

但是实际上F[0]的结果是存在的（即使用0个硬币的情况下），F[0]=0。

这种用转移方程无法计算，但是又实际存在的情况，就必须通过手动定义。

所以这里定义初始条件为：F[0]=0.

而从0之后的数值是没矛盾的，比如F[1]= F[1-2]+1= F[-1]+1=正无穷（正无穷加任何数结果还是正无穷）；F[2]= F[2-2]+1= F[0]+1=1……

第四步，确定计算顺序

那么开始计算时，是从F[1]、F[2]开始？还是从F[27]、F[26]开始呢？

判断计算顺序正确与否的原则是：
当我们要计算F[X]（等式左边，如F[10]）的时候，等式右边（f[X-2], f[X-5], f[X-7]等）都是已经得到结果的状态，这个计算顺序就是OK的。

实际就是从小到大的计算方式（偶有例外的情况我们后边再讲）。

例如我们算到F[12]的时候，发现F[11]、F[10]、F[9]都已经算过了，这种算法就是对的；
而开始算F[27]的时候，发现F[26]还没有算，这样的顺序就是错的。

很显然这样的情况下写一个FOR循环就够了。

回到这道题，采用动态规划的算法，每一步只尝试三种硬币，一共进行了27步。算法时间复杂度（即需要进行的步数）为27*3。

原题练习：
这道题是lintcode 669：Coin Change

总结

动态规划解题4步曲

a)确定状态

• 研究最优策略的最后一步
• 转化为子问题

b)转移方程

• 根据子问题定义直接得到

c)初始条件和边界情况

• 细心，考虑周全

d)计算顺序

• 利用之前的计算结果

按照以上4步套路，基本上可以解决绝大多数类型的动态规划题。