极限浅谈

高中就被物理上各种小木块折磨，求速度、求时间等等，上了大学才知道极限一说。下面是百度出来的一个不错的微积分学习网站，极限这个概念还是讲的很不错的！数学经纬网还有很多数学历史、数学科普等等，收藏一波！
废话少说，下面转载原文：
极限是微积分学习中最基础的概念，但是对它的理解却不是那么容易，历史上不少数学家对此均做出过研究。
飞矢不动是芝诺悖论里面非常有名的一个例子。它是怎么说的呢？芝诺设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。这是诡辩，但也提供给我们一种思考动与不动辨证关系的视角。

同样，在高中物理中，也有类似的问题。在运动学中，我们要求某一时间段（t0-t1）的物体运动的速度，那么我们就会用物体在这一时间段内的位移除以时间，这叫平均速度。但如果我想求某一点或某一时刻（t2）的速度呢，或者称之为瞬时速度呢，会怎么办呢？当然，我们说按照芝诺的说法，速度必然涉及位移（s）和时间段（t0-t1），而对于某一点或某一时刻，不存在位置的移动，也不存在时间的推移，那么这个瞬时速度便不存在或者为零。显然，这不是我们要的答案。实际上，我们在回答这一问题的时候，其实用到了极限的思想，即我们令时间段（t0-t1）足够小，在不断的足够小的过程中，我们便有望得到某点或某时刻的瞬时速度。在这里，我们会发现，瞬时速度已经不再是速度的概念，但它却是速度的某种延伸。实际上，我们在不断求瞬时速度的过程中，随着时间段（t0-t1）间隔的逐渐缩小，我们会有望得到一系列的值，这些值似乎在朝某个数运动，即这些列值似乎不断的靠近某个值，但永远达不到。事实上，这个值就是极限。

从几何上，我们也可以说明这个一下。其中最常用的就是求曲线的切线。切线是从割线引申而来。我们用一条直线去“割”曲线，随着直线与曲线相交的两点间距离逐渐变小，这条直线的斜率k（y=kx+b,k≠0）也在逐渐趋近于一个数。这个求斜率的过程，其实就是求极限的过程。而当相交的两点融合为一个点后，所得K就是曲线在此点的切线斜率。

关于极限论，到此我们可以给出一些比较经典的说法了，按照魏尔斯特拉斯给出的规范化定义，极限论即：当属于一个变量的相继值无限地趋近某个固定值时，如果以这样的一种方式告终，变量值同固定值之差小到我们希望的任意小，那么这个固定值就成为其他所有值得极限。结合上述我们的例子，应该比较好理解。
与此同时，应该指出，变量值与固定值之间的差，有个术语叫无穷小。即当变量，如速度或者割线斜率不断逼近的过程中，这个变量与达到的值（即瞬时速度的值或者切线斜率的值）的差也构成一个不断减少的过程，最终可以达到任意小。与之相关，无穷小的这个量，其倒数必然是无穷大，因此也就有了无穷大的说法。非常有趣的是，无穷小量虽然都是“量”，但它和1，34，1000等数表示的量却截然不同，似乎无穷小是个动态量，可以任意地无限的接近零，却又不是零。