卷积-通信之道

看 杨学志《通信之道》中关于卷积的理解

离散卷积

• 离散冲击序列：
  $\delta[n]=\left\{\begin{matrix} 1, & n=0\\ 0, & n\neq 0 \end{matrix}\right.$δ[n]={1,0,​n=0n​=0​

• 任何一个离散信号 $x[n]$x[n]都可以表达成如下形式：
  $x[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty } x[k]\delta[n-k]$x[n]=k=−∞∑+∞​x[k]δ[n−k]
  因为上述和式只有 $k=n$k=n时 $\delta[n-k]=1$δ[n−k]=1，其余为0，所以求和为 $x[n]$x[n]。

• 对于线性时不变(Linear time invariant, LTI)系统：
  设 $H\{\cdot\}$H{⋅}为LTI系统，则
  $y[n]=H\{x[n]\}=H\{\sum_{k=-\infty }^{+\infty } x[k]\delta[n-k]\}\\ \overset{linear}{=}\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]H\{\delta[n-k]\}\\ \overset{time~invariant}{=}\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]$y[n]=H{x[n]}=H{k=−∞∑+∞​x[k]δ[n−k]}=lineark=−∞∑+∞​x[k]H{δ[n−k]}=time invariantk=−∞∑+∞​x[k]h[n−k]
  上式即离散卷积
  $y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]$y[n]=x[n]∗h[n]=∑k=−∞+∞​x[k]h[n−k]，若为因果系统(n时刻的输出只与n时刻之前的输入有关，则上式求和上限取为 $n$n)

• 物理意义的理解可参考 知乎[信号与系统]卷积的物理解释
  其中银行存钱的例子很形象
• 个人理解：输入由很多冲击组成，在k时刻，冲击为x[k]，系统的响应为h[n-k]；那么在过去的 $-\infty$−∞到n这段时间里，总的输出为x[k]h[n-k]的和，即为y[n]。

连续卷积

• 线性时不变系统：
  $y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau )h(t-\tau)d\tau$y(t)=x(t)∗h(t)=∫−∞+∞​x(τ)h(t−τ)dτ
  因果系统中积分上限为 $t$t。