椭圆积分函数和雅各比椭圆函数

椭圆积分函数

  函数 $u=F(\varphi, k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}=\int_{0}^{sin{\varphi} }\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(1-x^{2})(1-kx^{2})}}{\tag1}$u=F(φ,k)=∫0φ​1−k2sin2x ​dx​=∫0sinφ​(1−x2)(1−kx2) ​dx​(1)

是用积分形式定义的函数，被称为第一类椭圆积分函数。其中 $k$k是参数，被称为椭圆积分函数的模长。通常认为 $k$k满足不等式 $0 \leqslant k<1$0⩽k<1。式(1)的后两项是文献中常用的定义形式。由于在 $\varphi=0$φ=0时二式相等，且二式在定义域上的导数均相等，因此很容易看出二者表示的是同一个函数。该函数是单调递增的奇函数。函数在不同的模长 $k$k下的图像如下：

  该函数在 $\varphi=\frac{\pi}{2}$φ=2π​处的值被称作第一类完全椭圆全积分
$K(k)=F\left(\frac{\pi}{2}, k\right)=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}{\tag2}$K(k)=F(2π​,k)=∫0π/2​1−k2sin2x ​dx​(2)

  当模长 $k$k确定后，该值是常数。

雅各比椭圆函数

  第一类椭圆积分函数的反函数称为幅值函数，表示为
$\varphi=\mathrm{am} u$φ=amu

则椭圆正弦函数 $z=\operatorname{sn}(u, k)$z=sn(u,k)和椭圆余弦函数 $z=\operatorname{cn}(u, k)$z=cn(u,k)定义如下：
$z=\operatorname{sn}(u, k)=\sin \varphi=\sin \operatorname{am} u, \quad z=\operatorname{cn}(u, k)=\cos \varphi=\cos \operatorname{am} u{\tag3}$z=sn(u,k)=sinφ=sinamu,z=cn(u,k)=cosφ=cosamu(3)

由
$\begin{aligned} u+4K(k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}+4\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}} \\ =\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}+\int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}\\ =\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}+\int_{\varphi}^{2\pi+\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}\\ =\int_{0}^{\varphi+2\pi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}} \end{aligned}$u+4K(k)=∫0φ​1−k2sin2x ​dx​+4∫0π/2​1−k2sin2x ​dx​=∫0φ​1−k2sin2x ​dx​+∫02π​1−k2sin2x ​dx​=∫0φ​1−k2sin2x ​dx​+∫φ2π+φ​1−k2sin2x ​dx​=∫0φ+2π​1−k2sin2x ​dx​​

可得

$\operatorname{am}(u+4K(k))=\varphi+2\pi$am(u+4K(k))=φ+2π

因此
$\operatorname{sn}(u+4K(k))=\operatorname{sin}\operatorname{am}(u+4K(k))=\operatorname{sin}(\varphi+2\pi)=\operatorname{sin}(\varphi)=\operatorname{sn}(u)$sn(u+4K(k))=sinam(u+4K(k))=sin(φ+2π)=sin(φ)=sn(u)

可见椭圆正弦函数 $z=\operatorname{sn}(u, k)$z=sn(u,k)周期为 $4K(k)$4K(k)。同理，椭圆余弦函数 $z=\operatorname{cn}(u, k)$z=cn(u,k)的周期也为 $4K(k)$4K(k)。并且，椭圆正弦函数 $z=\operatorname{sn}(u, k)$z=sn(u,k)是奇函数，椭圆余弦函数 $z=\operatorname{cn}(u, k)$z=cn(u,k)是偶函数。可见，二者应该有分别与正弦，余弦函数类似的图像。
  定义幅值的 $\delta$δ函数
$z=\operatorname{dn}(u, k)=\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} u}=\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}=\sqrt{1-k^{2} \operatorname{sn}^{2}(u, k)}{\tag4}$z=dn(u,k)=dudφ​=1−k2sin2φ ​=1−k2sn2(u,k) ​(4)

该函数以 $2K(k)$2K(k)为周期。
   $\operatorname{sn}(u, k),\operatorname{cn}(u, k),\operatorname{dn}(u, k)$sn(u,k),cn(u,k),dn(u,k)统称为雅各比椭圆函数，它们之间满足如下容易验证的恒等式。
$\begin{aligned} &\operatorname{sn}^{2} u+\operatorname{cn}^{2} u=1\\ &\operatorname{dn}^{2} u+k^{2} \operatorname{sn}^{2} u=1 \end{aligned}{\tag5}$​sn2u+cn2u=1dn2u+k2sn2u=1​(5)

  三个雅各比椭圆函数在不同的模长 $k$k下的图像如下

可见，当 $k=0$k=0时， $z=\operatorname{sn}(u,k)$z=sn(u,k), $z=\operatorname{cn}(u,k)$z=cn(u,k)和 $z=\operatorname{dn}(u,k)$z=dn(u,k)分别变为 $z=\operatorname{sin}u$z=sinu, $z=\operatorname{cos}u$z=cosu和 $z=1$z=1。
  函数图像与第一类完全椭圆积分K(k)的一般关系如图3所示。

参考文献 理论力学 马尔契夫