SVD机器学习应用与算法

特征值与特征向量算法

首先回顾下特征值和特征向量的定义以下：api

Ax=λx机器学习

其中A是一个n×n的矩阵，x是一个n维向量，则咱们说λ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。学习

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 咱们能够将矩阵A特征分解。若是咱们求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤...≤λn,以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,...wn}，那么矩阵A就能够用下式的特征分解表示：ui

A=WΣW^−1spa

其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。通常会把W的这n个特征向量标准化，即知足||wi||^2=1, 或者说wi^Twi=1，此时W的n个特征向量为标准正交基，知足W^TW=I，即W^T=W^−1, 也就是说W为酉矩阵。这样特征分解表达式能够写成.net

A=WΣW^Tblog

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么若是A不是方阵，即行和列不相同时，咱们还能够对矩阵进行分解吗？索引

SVD定义ci

SVD也是对矩阵进行分解，但和特征分解不一样，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设矩阵A是一个m×n的矩阵，那么咱们定义矩阵A的SVD为：

A=UΣV^T

其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素之外全为0，主对角线上的每一个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即知足U^TU=I,V^TV=I。下图能够很形象的看出上面SVD的定义：

那么如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？若是将A的转置和A作矩阵乘法，那么会获得n×n的一个方阵A^TA。既然A^TA是方阵，那么就能够进行特征分解，获得的特征值和特征向量知足下式：

这样就能够获得矩阵A^TA的n个特征值和对应的n个特征向量v。将A^TA的全部特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是SVD公式里面的V矩阵了。通常将V中的每一个特征向量叫作A的右奇异向量。

若是将A和A的转置作矩阵乘法，那么会获得m×m的一个方阵AA^T。既然AA^T是方阵，那么就能够进行特征分解，获得的特征值和特征向量知足下式：

这样就能够获得矩阵AA^T的m个特征值和对应的m个特征向量u。将AA^T的全部特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是SVD公式里面的U矩阵。通常将U中的每一个特征向量叫作A的左奇异向量。

U和V求出来后，如今剩下奇异值矩阵Σ没有求出。因为Σ除了对角线上是奇异值其余位置都是0，那咱们只须要求出每一个奇异值σ就能够了。注意到:

能够求出咱们的每一个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是说A^TA的特征向量组成的就是SVD中的V矩阵，而AA^T的特征向量组成的就是SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？其实很容易证实，以V矩阵的证实为例。

上式证实了U^TU=I,Σ^T=Σ。能够看出A^TA的特征向量组成的的确就是SVD中的V矩阵。相似的方法能够获得AA^T的特征向量组成的就是SVD中的U矩阵。

SVD计算实例

用一个简单的例子来讲明矩阵是如何进行奇异值分解的。矩阵A定义为：

首先求出A^TA和AA^T

求出A^TA的特征值和特征向量：

接着求AA^T的特征值和特征向量：

求出奇异值

 最终获得A的奇异值分解为：

SVD的性质

上面对SVD的定义和计算作了详细的描述，彷佛看不出SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得咱们注意呢？对于奇异值,它跟特征分解中的特征值相似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，并且奇异值的减小特别的快，在不少状况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了所有的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，也能够用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

以下图所示，如今矩阵A只须要灰色的部分的三个小矩阵就能够近似描述了。

因为这个重要的性质，SVD能够用于PCA降维，来作数据压缩和去噪。也能够用于推荐算法，将用户和喜爱对应的矩阵作特征分解，进而获得隐含的用户需求来作推荐。同时也能够用于NLP中的算法，好比潜在语义索引（LSI）。

SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结（机器学习(27)【降维】之主成分分析(PCA)详解）中讲到要用PCA降维，须要找到样本协方差矩阵X^TX的最大的d个特征向量，而后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来作低维投影降维。能够看出，在这个过程当中须要先求出协方差矩阵X^TX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到SVD也能够获得协方差矩阵X^TX最大的d个特征向量张成的矩阵，可是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法能够不求先求出协方差矩阵X^TX，也能求出咱们的右奇异矩阵V。也就是说，PCA算法能够不用作特征分解，而是作SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候颇有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是咱们咱们认为的暴力特征分解。

另外一方面，注意到PCA仅仅使用了SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设样本是m×n的矩阵X，若是经过SVD找到了矩阵XX^T最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U，则若是进行以下处理：

能够获得一个d×n的矩阵X‘,这个矩阵和原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵能够用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵能够用于列数即特征维度的压缩，也就是PCA降维。　

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